二次関数のグラフの解法

二次関数のグラフに関する問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $y=x^2+4x-1$ の軸と頂点を求めなさい
(2)頂点が $(1,-2)$ で点 $(3,4)$ を通る二次関数を求めなさい
(3) $y=x^2+4x-1$ と $y=-3x+5$ の共有点があれば求めなさい

解き方

二次関数の多くの問題は頂点を知るところから始まりますので、(1)はまさに基本となる問題です。
平方完成して求めます。
(2)は二次関数のグラフの特徴から二次関数を求める問題です。
(3)はグラフの共有点に関する問題です。
判別式と連立方程式が鍵となります。

解説

(1) $y=x^2+5x-1$ の軸と頂点を求めなさい
平方完成します。

$x^2$ の係数が1のときはやることが少し簡単になります。
$y=x^2+4x-1$
$y=(x^2+4x+4)-4-1$
$y=(x+2)^2-5$
軸は平方部分を使って $x+2=0$ より $x=-2$ になります。
頂点は定数部分も使って $(-2,-5)$ になります。

(2)頂点が $(1,-2)$ で点 $(3,4)$ を通る二次関数を求めなさい
問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道で解いてみましょう。
まず頂点の情報がありますね。
$y=a(x-1)^2-2$ の形をしていることがわかります。
次に通る点がわかっていますね。
代入してみましょう。
$4=a(3-1)^2-2$
$a$ の方程式になりました。
これを解きましょう。
$4=a(3-1)^2-2$
$4+2=4a$
$\displaystyle a=\frac{3}{2}$
答えです。

(3) $y=x^2+4x-1$ と $y=-3x+5$ の共有点があれば求めなさい
まず共有点とは交点の事ですが、二次関数のグラフと交点の問題の解法についての解説も必要に応じてご参照ください。
交点はなぜ連立方程式を解くと求める事ができるのか解説しています。

問題に入ります。
連立方程式を解きましょう。
$y$ に代入します。
$x^2+4x-1=-3x+5$
$x^2+7x-6=0$
$c$ が負なので確かめるまでもないのですが、判別式を確かめてみましょう。
※パッと見て因数分解できないので結局解の公式で使うので一石二鳥です。
$D=49-4\cdot a\cdot (-6)=49+24=73\geq 0$
共有点を2つ持ちます。
連立方程式を解き進め、共有点を求めましょう。
$\displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{2}$
$\displaystyle y=-3\frac{-7\pm\sqrt{73}}{2}+5$
$\displaystyle y=\frac{21-\mp 3\sqrt{73}+10}{2}$
$\displaystyle y=\frac{31-\mp 3\sqrt{73}}{2}$
その場で作った問題なのですごい値になっていますが答えです。
$\displaystyle (\frac{-7\pm\sqrt{73}}{2},\frac{31-\mp 3\sqrt{73}}{2})$ (複合同順)

応用問題

(1) $y=2x^2+5x-1$ の軸と頂点を求めなさい
(2)二次関数 $y=x^2-2ax+1$ が頂点が $y=-x-5$ 上にあるように $a$ の値を求めなさい
(3) $y=-x^2+kx-1$ と $y=-3x+5$ の共有点の個数について求めなさい

解き方

二次関数の式の中に文字が入ると頂点が文字によって変わってしまうので難しくなります。
方程式が解けるのは最後なので、文字に惑わされずに解き進めましょう。

解説

(1) $y=2x^2+5x-1$ の軸と頂点を求めなさい
平方完成します。

$x^2$ の係数が1でないのでやることが少し増えます。
$x$ の係数が分数になるとさらにやることが少し増えます。
$y=2x^2+5x-1$
$\displaystyle y=2(x^2+\frac{5}{2}x)-1$
$\displaystyle y=2(x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5^2}{4^2}-\frac{5^2}{4^2})-1$
$\displaystyle y=2(x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5^2}{4^2})-2\cdot \frac{25}{16}-\frac{8}{8}$
$\displaystyle y=2(x+\frac{5}{4})^2-\frac{33}{8}$
軸は平方部分を使って $\displaystyle x+\frac{5}{4}=0$ より $\displaystyle x=-\frac{5}{4}$ になります。
頂点は定数部分も使って $\displaystyle (-\frac{5}{4},-\frac{33}{8})$ になります。

(2)二次関数 $y=x^2-2ax+1$ が頂点が $y=-x-5$ 上にあるように $a$ の値を求めなさい
問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道で解いてみましょう。
二次関数 $y=x^2-2ax+1$ だそうなので、この式を使いましょう。
$y=-x-5$ 上に頂点があるそうです。
頂点の情報があるので、平方完成しましょう。
$y=x^2-2ax+1$
$y=(x^2-2ax+a^2)-a^2+1$
$y=(x-a)^2-a^2+1$
頂点は $(a,-a^2+1)$ ですね。

$y=-x-5$ 上に頂点があるので、頂点はこの条件を満たすはずです。
求めた頂点を代入してみましょう。
$-a^2+1=-a-5$
$a$ の二次方程式になりました。
解いてみましょう。
$a^2-a-5-1=0$
$a^2-a-6=0$
$(a+2)(a-3)=0$
$a=-2,3$
従って、答えは $a=-2,3$ です。

あまりうまいやり方では無いかもしれませんがもう一つ解法をご紹介します。
二次関数の頂点を $(p,q)$ とし、 $y=r(x-p)^2+q$ としましょう。
二次関数は $y=x^2-2ax+1$ なので、 $x^2$ の係数は1です。
従って $r=1$ です。
展開すると $y=(x^2-2px+p^2)+q=x^2-2px+p^2+q$
二次関数は $y=x^2-2ax+1$ なので、 $-2p=-2a,p^2+q=1$ が得られます。
頂点の式から $p,q$ には $q=-p-5$ が成り立ちます。

ここまでを整理します。
$-p=-a$ ･･･①
$p^2+q=1$ ･･･②
$q=-p-5$ ･･･③
3変数に3式得られたので解けるかもしれないですね。

②に③を代入すると $p^2-p-6=0$ で $p=-2,3$
①より $a=-2,3$ が得られます。

(3) $y=-x^2+kx-1$ と $y=-3x+5$ の共有点の個数について求めなさい
二次方程式の中に文字が入るので、文字の値によって共有点の個数も変わりますね。

$y=-x^2+kx-1$ に文字が含まれていますが構わず連立方程式を解いてみましょう。
$-3x+5=-x^2+kx-1$
$x^2-3x-kx+5+1=0$
$x^2-(3+k)x+6=0$
判別式を確認します。
$D=(3+k)^2-4\cdot 6=k^2+6k+9-24$
$D=k^2+6k-15$

判別式が $k$ の二次関数になりました。
この判別式の二次関数が正になるのか、負になるのかが知りたいんですよね。
二次不等式の解法を使って判別式の正負の条件を求めましょう。

$D=k^2+6k-15$ でしたが下に凸の $k$ の二次関数です。
この $k$ の二次関数のは判別式 $D_k=36+60>0$ より2つの異なる解を持ちます。
$\displaystyle k=\frac{-6\pm\sqrt{96}}{2}=-3\pm\sqrt{24}=-3\pm 2\sqrt{6}$
元の二次関数の判別式 $D$ は、 $\displaystyle k=-3\pm 2\sqrt{6}$ で正負が切り替わることがわかりました。