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【数学ⅠA】図形と計量

数学に関する投稿の第8回目です。

図形と軽量の特徴

図形の軽量では直角三角形の辺の比を扱います。
相似の性質で、相似な三角形は対応する辺の比は一定になります。
直角三角形は1の角を決めると辺の比が定まります。
つまり角度によって値が定まる関数のような性質を持っているわけです。

何がうれしいのか

直角三角形の1つの角がわかると、辺の比がわかるというのは強い性質です。
数学以外の様々な場面で使われるでしょう。
また、数学としては上記の通り関数の側面を持ちます。
グラフの特徴、最大値最小値、方程式不等式、微分積分へとつながります。
高校数学を代表する単元の1つと言ってよいと思います。

三角比

以下の表は暗記する必要はないと思いますが、埋められるようになりましょう。
角に対して正しい三角比を対応付けることができて初めて先に進めます。

\theta0^{\circ}30^{\circ}45^{\circ}60^{\circ}90^{\circ}120^{\circ}135^{\circ}150^{\circ}180^{\circ}
\sin{\theta}0\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}1\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\frac{1}{2}0
\cos{\theta}1\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\frac{1}{2}0\displaystyle-\frac{1}{2}\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle-\frac{\sqrt{3}}{2}-1
\tan{\theta}0\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}1\sqrt{3}\displaystyle-\sqrt{3}-1\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{3}}0

相互関係

以下の二つは三角比の問題で使わない問題の方が少ない位使います。
左辺を右辺に置き換える(もしくはその逆)という使い方は必ずできるようになってください。
\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1
\displaystyle \tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
また、
\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}
のような使い方もできるようになりましょう。
\sin,\cosが混じった式を相互関係を使う事で片方だけで表すことができることもあります。

加法定理を知っておくと良い

「咲いたコスモス、コスモス咲いた」で覚える
\sin{\alpha \pm \beta}=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}
「コスモスコスモス、咲いた咲いた」で覚える
\sin{\alpha \pm \beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}
はいずれ必ず覚えるのですが、数Ⅰの段階では教えてもらえませんので、試験では使えません。
\sin{180^{\circ} \pm \theta} = \sin{180^{\circ}} \cos{\theta} \pm \cos{180^{\circ}} \sin{\theta}
=0 \times\cos{\theta} \pm 1 \times \sin{\theta}
= \pm \sin{\theta}

三角方程式

\displaystyle \sin{x}=\frac{1}{2}といった形で出題される方程式です。
2:1の辺の比を持つ直角三角形を瞬時に思い浮かべることができるようになりましょう。

三角不等式

0^{\circ} \leqq x \leqq 180^{\circ}のとき\displaystyle \sin{x} \geq \frac{1}{2}を解け、等といった形で出題される不等式です。
\displaystyle \sin{x} = \frac{1}{2}の方程式の解のx=30^{\circ},150^{\circ}を利用し、次のように範囲を作りましょう。
0^{\circ} \leq x \leq 30^{\circ} , 30^{\circ} \leq x \leq 150^{\circ} , 150^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}
\sin{x}0^{\circ}から90^{\circ}まで増加し、90^{\circ}から180^{\circ}までは減少します。
なので、\displaystyle \sin{x} \geq \frac{1}{2}の解は30^{\circ} \leq x \leq 150^{\circ}です。
※等号は適宜判断していく必要があるので注意してください。
区切った区間それぞれで当てはまるかどうかを確かめておくと正解率が上がります。

正弦定理と余弦定理

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R
分母と分子さえ間違えなければ覚えやすい形ですよね?
外接円の直径が大きくなると辺の長さも大きくなります。
外接円の直径と辺の長さが大きくなる方向が同じなので、共に分子にあるわけです。
つまり辺の長さが分子、という事で間違えずに覚えられますね!
a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}
b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}
c=2=a^2+b^2-2ab\cos{C}
よく見ると途中まで三平方の定理になっていますね。
更には\angle{A}が直角の直角三角形であれば、\cos{A}0になるので、三平方の定理と一致しますね。
後は符号を間違えずに、最後の項を覚えれば覚えやすいのではないかなと思います。
問題で与えられた値から、正弦定理と余弦定理のどちらを使えるか判断できるようになりましょう。

関数としては数学ⅡB

三角比は角度が定まるとその値が定まるので関数としての側面を持つと記載しました。
数学Ⅱで三角関数としてグラフの特徴、最大値最小値、方程式不等式をより詳しく学び、やがて数学Ⅲで微分積分へと繋がっていきます。
楽しみですね。

まとめ

演習問題では正答率8割以上を目指したいところです。
どうやって相互関係、正弦定理、余弦定理を使うかという事を考えると良いでしょう。
さらに、三角比で表された関数を二次関数に置き換えて最大値や最小値を求める問題もあります。
必ず演習問題で解法を確認しておきましょう。

問題の解法

三角方程式の問題の解法
三角不等式の問題の解法
三角比の関数の最大値と最小値の問題の解法

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