円順列の問題の解法

円型の順列を求める問題です。

基本問題

回転して同じ並び方は別々に計上しないものとします。
(1)6つの席がある円卓に6人が座る座り方は何通りあるか求めなさい。
(2)椅子が壊れてしまい2人立つこととなりました。
立つ人も選んだ上で座り方は何通りあるか求めなさい。
このとき立つ人の並び方は特に考えないものとします。
(6人の中から4人が円卓に並ぶという意味です。)

解き方

円順列の考え方で求めます。
円順列の考え方はABCDEFとBCDEFAは同じものとみなします
結果それぞれが先頭の並び方がすべて同じ並び方となりますので、文字数分が重複しています。
これを消し込めばいいですね。

解説

(1)6つの席がある円卓に6人が座る座り方は何通りあるか
「回転して同じ並び方は別々に計上しないものとする。」なので、円順列の考え方を使います。
書いていない場合もありますので、ずらして同じとみなせる場合は円順列の考え方です。

6人をABCDEFとし、6人を並べる通り数は6!=720です。

ABCDEFとBCDEFA,CDEFAB,DEFABC,EFABCD,FABCDEは同じ並びになります。
ABCDFEも同じように6通りの並び方が同じ並びとしてカウントしてしまっています。
6人を並び替えた720を6で割ればいいですね

6!\div 6= 5!=120通りです。

(2)椅子が壊れてしまい2人立つこととなりました。立つ人も選んだ上で座り方は何通りあるか求めなさい。
まず6人から4人が円卓に並びますので
{}_6 \mathrm{P} _4=6\times 5\times 4\times 3=360通りあります。
しかし、例えばABCDだとするとBCDA、CDAB、DABCは同じです。
4つを重複してカウントしています。
4で割りましょう
360\div 4=90通りになります。

終わりに

何通り同じ並び方を重複してしまっているかを考えましょう。

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