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三角関数の導関数の問題の解法

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三角関数の導関数を求める問題です。

基本問題

次の関数の導関数を求めなさい。
(1)y=\sin{(2x+1)}
(2)y=\cos^2{(3x+2)}

解き方

三角関数の導関数の公式(\sin{x})'=\cos{x},(\cos{x})'=-\cos{x}が基本となります。
さらに合成関数の微分法等を使って微分していきます

解説

(1)y=\sin{(2x+1)}
u=2x+1で置換し、合成関数の微分法で微分します。
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{d(\sin{u})}{du}\frac{d(2x+1)}{dx}
\displaystyle =\cos{u}(2x+1)'=2\cos{(2x+1)}

とくに置換しなくても解けるようになれると良いですね。
y'=(\sin{(2x+1)})'=\cos{(2x+1)}(2x+1)'=2\cos{(2x+1)}

(2)y=\cos^2{(3x+2)}
u=3x+2,v=\cos{u}で置換し、合成関数の微分法で微分します。
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\frac{dv}{du}\frac{du}{dx}=\frac{d(v^2)}{dv}\frac{d(\cos{u})}{du}\frac{d(3x+2)}{dx}
\displaystyle =2v\cdot -\sin{u} \cdot 3=-6\cos{(3x+2)}\sin{(3x+2)}

とくに置換しなくても解けるようになれると良いですね。
y'=(\cos^2{(3x+2)})'=2\cos{(3x+2)}(\cos{(3x+2)})'
=2\cos{(3x+2)}(-\sin{(3x+2)}\cdot 3)=-6\cos{(3x+2)}\sin{(3x+2)}

終わりに

合成関数の微分法に慣れていなければ、一番わかりやすいx^nタイプで慣れてからの方が良いでしょう。
合成関数の微分法の問題の解法もご参照ください。

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