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合成関数の微分法の問題の解法

合成関数の微分法を使って導関数を求める問題です。

基本問題

次の関数の導関数を求めなさい。
(1)y=(2x+5)^{10}
(2)y=(2x+5)^5(3x^2+4x+1)^2

解き方

f(x)=x^5のとき、f(x+1)=(x+1)^5ですね。
(x+1)^5xで微分するには展開して計算すると大変ですね。
t=x+1で置換したt^5tで微分するのは即答できますね。
置換すると微分しやすいシンプルな式になる場合、合成関数の微分法が便利です。

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
を使いこなしましょう。

解説

(1)y=(2x+5)^{10}
u=2x+5で置換すると、y=u^{10}となり、微分しやすい形になりますね。
こういう時は合成関数の微分法です。
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{d(u^{10})}{du}\frac{d(2x+5)}{dx}
\displaystyle =10u^9\cdot 2=20u^9
\displaystyle =20(2x+5)^9

(2)y=(2x+5)^5(3x^2+4x+1)^2
u=2x+5v=3x^2+4x+1で置換すると、y=u^5\cdot v^2となります。
更にs=u^5,t=v^2とすればy=stですね。
y'=s't+st'の積の微分法を使い、s',t'は合成関数の微分法を使って計算を進めましょう。

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d(st)}{dx}=\frac{d(s)}{dx}t+s\frac{d(t)}{dx}=\frac{d(s)}{du}\frac{du}{dx}t+s\frac{d(t)}{dv}\frac{dv}{dx}=\frac{d(u^5)}{du}\frac{d(2x+5)}{dx}(3x^2+4x+1)^2+(2x+5)^5\frac{d(v^2)}{dv}\frac{d(3x^2+4x+1)}{dx}
\displaystyle =5u^4\cdot 2\cdot (3x^2+4x+1)^2+(2x+5)^5\cdot 2v\cdot (6x+4)=5(2x+5)^4\cdot 2\cdot (3x^2+4x+1)^2+(2x+5)^5\cdot 2(3x^2+4x+1)\cdot (6x+4)
\displaystyle =10(2x+5)^4(3x^2+4x+1)^2+(12x+8)(2x+5)^5(3x^2+4x+1)
\displaystyle =(30x^2+40x+10)(2x+5)^4(3x^2+4x+1)+(24x^2+76x+40)(2x+5)^4(3x^2+4x+1)
\displaystyle =(54x^2+116x+50)(2x+5)^4(3x^2+4x+1)
\displaystyle =2(27x^2+58x+25)(2x+5)^4(3x^2+4x+1)

終わりに

合成関数の微分法はこの後の三角関数や指数関数、対数関数の微分法で必要になります。
逆にそれぞれの関数の微分法は公式を覚えれば後は合成関数の微分法が使えるかどうかです。
数Ⅱの段階で知っているとだいぶ楽できると思います。

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