単純な組合せの問題の解法

単純な組み合わせの問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

男性4人、女性3人に対し、次の選び方は何通りあるか求めなさい。
(1)3人を選ぶ選び方
(2)男性を1人、女性を2人の選び方
(3)3人を選ぶとき、女性が少なくとも1人いる選び方

解き方

並び方を気にしない場合の数は、組合せの考え方で求めます。
n人からr人を選ぶ組合せは $_nC_r$ です。

(2)の様な条件が付いたときは、別々にその組合せを求めて積を取ります。
男性の選び方それぞれに対し、女性の選び方がそれぞれ対応するからです。

(3)の様な「少なくとも」はその日本語の意味を正しくとらえましょう。
今回であれば3人選ぶときなので、1人か2人か3人という事ですね。

また、余事象を考えることは組合せでも有効です。
このとき全体は組合せで数えた数としての全体です。
全体を順列で数えて、組合せで求めた数を引く等してしまうと誤りです。
考え方を統一するよう注意しましょう。

解説

(1)3人を選ぶ選び方
7人から3人選ぶ、という事ですね。
$\displaystyle _7C_3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$
35通りになります。

(2)男性を1人、女性を2人の選び方
男性を4人から1人選ぶのは $_4C_1=4$ 通りです。
女性を3人から2人選ぶのは $_3C_2=3$ 通りです。
男性の選び方それぞれに女性の選び方それぞれが対応します。
よって、 $4\times 3=12$ 通りになります。

(3)3人を選ぶとき、女性が少なくとも1人いる選び方
「少なくとも1人」という表現は「少なく見積もっても1人」という意味です。
言い換えると「1人でも良い」し「2人でも良い」し「3人でも良い」ですね。
つまり「1人以上」という事です。

1人のとき、2人のとき、3人のときの組合せを求めてみましょう。
1人のときは、男性4人から2人、女性3人から1人ですから、 $_4C_2\times _3C_1=6\times 3=18$ 通りです。
2人のときは、男性4人から1人、女性3人から2人ですが(2)で求めた通り、 $_4C_1\times _3C_2=4\times 3=12$ 通りです。
3人のときは、男性4人から0人、女性3人から3人ですから、 $_4C_0 \times _3C_3=1\times 1=1$ 通りです。
念のためですが、 $_nC_0=1$ で $_nC_0=0$ ではないので注意しましょう。

という事で、18+12+1=31通りになります。

一方余事象で考えても良いですね。
組合せは全体で35通りを求めていますので、「1人もいない」という場合の数を求めるという事です。
男性4人から3人、女性3人から0人ですから、 $_4C_3 \times _3C_0=4\times 1=4$ 通りです。
35-4=31通りになります。

終わりに

組合せと順列の考え方の違いをまずは確認しましょう。
ポイントは「並び順を気にするかどうか」です。
ここが曖昧だと場合の数、確率が全滅してしまいます。
どっちがどっちかわからなくなったときは、3つ位で試しましょう。
順列はABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。
組合せはABCの1通りです。
$_3P_3=3\times 2\times 1=6$ です。
$_3C_3=1$ です。
ものすごく雑な言い方をすると、Pが順列、Cが組合せになります。