区別のつかない組み分けの問題の解法

区別のつかない組み分けの場合の数を求めるの問題です。

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1 問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

問題

男性が4人、女性が4人で合計8人います。
このとき次の分け方が何通りあるか、求めなさい。
(1)4人ずつ2つのグループに分ける
(2)男女2人ずつの4人ずつの2つのグループに分ける
(3)4人、2人、2人の3つのグループに分ける
(4)男女2人ずつの4人、2人、2人の3つのグループに分ける
(5)2人ずつ4つのグループに分ける
(6)男女1人ずつの2人ずつの4つのグループに分ける

解き方

※説明する上で男性をA,B,C,Dで、女性をa,b,c,dで書きます。
2つの組に分けると言ったとき、
(A,B,a,b)と(C,D,c,d)
の2つの組と
(C,D,c,d)と(A,B,a,b)
の2つの組は同じ組の分け方になる点に注意します。
さらに2ずつ分けたときに、
(i)=(A,a)、(ii)=(B,b)、(iii)=(C,c)、(iV)=(D,d)
とすると、(i)～(iV)の4組の並べ方は $_4P_4=24$ 通りあります。
「分けていくと、同じ組み分けになる事がある」点に注意しましょう。
これは入れ物が同じ、部屋の区別が無い、等の問題のときの考え方です。

解答までの進め方として
「丁寧に重複なく数え上げる」
「重複含めて全ての並べ方を数え上げ、重複する並べ方を減らす」
という2つの方針があります。
前者は場合分け等を組み合わせて使っていくことになるでしょう。
後者の考え方が考慮漏れなどしにくいかと思います。

また、(6)では
「男性を1人ずつ分けて、そこに女性を1人ずつ分けていく」
という考え方と、
「男性を4人から1人選び、女性を4人から1人選んで組を作る」
「さらに男性を3人から1人選び、女性を3人から1人選んで組を作る」
「さらに男性を2人から1人選び、女性を2人から1人選んで組を作る」
「残り」
という考え方のどちらでも求めることができます。

解説

(1)4人ずつ2つのグループに分ける
8人を4人ずつ分けていきましょう。
$\displaystyle _{8}C_4=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70$
これが2通りずつ重複しているわけですから、
$70 \div 2=35$
という事で35通りになります。

(2)男女2人ずつの4人ずつの2つのグループに分ける
解き方にある(6)と同様、2つの考えで進めることができます。

まず男性を2人ずつ分け、女性を2ずつ分ける考えで進めてみましょう。
男性を2人ずつ分けるので $_4C_2=6$ 通りあります。
しかし、(A,B)(C,D)という分け方と(C,D)(A,B)という分け方は同じなので2で割って3通りです。

次に女性を分けます。
ここで(A,B,a,b)と(C,D,c,d)という分け方と(A,B,c,d)と(C,D,a,b)という分け方は異なる分け方になっています。
男性のときは区別のつかない組に分けていましたが、女性のときは既に男性の「色」が付いているので、区別のついている組の分け方です。
$_4C_2=6$ 通りあります。

従ってこれらの積である $3\times 6=18$ 通りあります。

次に男性を2人、女性を2人選び、残りで組を作るという考えで進めてみましょう。
$_4C_2 \times _4C_2=6\times 6=36$ 通りあります。

この選び方には(A,B,a,b)と(C,D,c,d)という選び方が含まれていますよね。
残りまで考えると、(A,B,a,b)と(C,D,c,d)という分け方と(C,D,c,d)と(A,B,a,b)という分け方になります。
つまり、区別のつかない組み分けの考え方ですから、その通り数である2で割る必要があります。
$36\div 2 =18$ 通りあります。

(3)4人、2人、2人の3つのグループに分ける
(1)のように12人を分けていきます。
4人は1グループですが、2人は2グループあります。
2人の分け方は区別のつかない組み分けの考え方を使う必要がありますね。
「(A,B,C,D),(a,b),(c,d)」と「(A,B,C,D),(c,d),(a,b)」が同じという点です。
2人の2グループ(a,b),(c,d)の組は $_2P2=2$ 通りの並べ方があります。

8人から4人選び、4人から2人選び、残りという分け方は
$_8C_4\times _4C_2\times _2C_2=70\times 6\times 1=420$ 通りになります。
区別のつかない組み分けがありますからその通り数の2で割って210通りになります。

(4)男女2人ずつの4人、2人、2人の3つのグループに分ける
(3)に男女2人ずつの4人という制限が生まれます。
男女2人ずつの4人の選び方は、 $_4C_2\times _4C_2=36$ 通りでした。

残った男女は2人ずつです。
男男と女女、男女と男女という二つの場合があります。

男男と女女ですが、これは残った男女から1通りしか作れません。
男女と男女ですが、
(残った男1,残った女1)と(残った男2,残った女2)
という分け方と
(残った男1,残った女2)と(残った男2,残った女1)
という分け方の2通りがあります。

つまり、36通りに対し、それぞれ3通りの分け方があるというわけです。
従って $36\times 3=108$ 通りになります。

(5)2人ずつ4つのグループに分ける
2,2,2,2の区別のつかない組み分けの考え方ですね。
$_8C_6\times _6C_4\times _4C_2\times _2C_2=28\times 15\times 6\times 1=2520$
そして $_4P_4=24$ 通りの重複があります。
$2520\div 24=105$ 通りになります。

(6)男女1人ずつの2人ずつの4つのグループに分ける
理想的な分け方ですね。

まず男性を分けて女性を分ける考え方で進めてみましょう。

男性の分け方は区別のつかない組み分けになり、24通りと24で割って1通りです。
(A,○),(B,○),(C,○),(D,○)なので、あまり考えることなく1通りです。

次に女性を分けていきますが、男性が既に分けられています。
区別のある分け方になります。
$_4P4=24$ 通りですね。

従って、 $1\times 24=24$ 通りになります。

次に男女1人ずつ選んでいく考え方で進めてみましょう。
まず1組目ですが、 $_4C_1\times _4C_1=16$ 通りになります。
2組目は、 $_3C_1\times _3C_1=9$ 通りになります。
3組目は、 $_2C_1\times _2C_1=4$ 通りになります。
4組めは1通りですね。
従って $16\times 9\times 4=576$ 通りになります。
ここでこのペアは区別のつかない組み分けですから $_4P4=24$ 通りの重複があります。
$576\div 24=24$ 通りになります。