三角不等式の問題の解法

三角比に与えられた条件から、角 $\theta$ の範囲を求めるタイプの問題です。
ちなみに図をご用意できていませんが、必ず図を描きながらイメージしてください。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題（混じった三角比）
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
  - 2.1.2 二次不等式としてみる
3 応用問題（角がずれている）
- 3.1 解き方
  - 3.1.1 解説
4 終わりに

基本問題

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき、次の不等式を満たす $\theta$ を求めなさい。
$(1)\displaystyle \sin{\theta} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(2)\displaystyle \frac{1}{2} \leq \sin{\theta} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$(3)\displaystyle \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$

解き方

まず等式と思って $\theta$ を求めます。
等式で区間を区切りましょう。
区切った区間の中で $\theta$ が不等式を満たすか確認しましょう。

解説

$(1)\displaystyle \sin{\theta} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
まずは等式と思って解きましょう。
もし等式の部分の解き方がわからない場合、三角方程式の問題の解法をご参照ください。

等式を満たす $\theta$ は $60^{\circ},120^{\circ}$ ですね。
ではこの $\theta$ で与えられている区間を区切ります。
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$0^{\circ} \leqq \theta < 60^{\circ},60^{\circ} < \theta < 120^{\circ},120^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}$
ここで $60^{\circ},120^{\circ}$ を区間から除いていますが、等号を満たしているので、忘れずに解に含めるようにしてくださいね。

$\sin{\theta}$ は $\theta$ の変化に対し少しずつ値が変化していきます。
$60^{\circ},120^{\circ}$ で $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ を「跨ぐ」わけですが、それ以外では跨がないわけですから、大きくなっているか小さくなっているかのいずれかですね。
つまり今作った3つの区間は $\displaystyle \sin{\theta} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ か $\displaystyle \sin{\theta} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ のいずれかになっています。
どの区間が条件に適合するか調べます。

この区間の中から「代表値」を選びましょう。
代表値を使って確認をするので、三角比がわかる $0^{\circ},30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ},120^{\circ},135^{\circ},150^{\circ},180^{\circ}$ から選びます。
※選べない場合は(2)で解説します。
$0^{\circ} \leqq \theta < 60^{\circ}$ は $0^{\circ}$ 、 $60^{\circ} < \theta < 120^{\circ}$ は $90^{\circ}$ 、 $120^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}$ は $180^{\circ}$ 、にしましょうか。
できるだけわかりやすい値を使った方が間違いにくくなります。
それぞれの代表値に対応する $\displaystyle \sin{\theta}$ の値は、
$\displaystyle \sin{0^{\circ}}=0 < \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $0^{\circ}$ を含む $0^{\circ} \leqq \theta < 60^{\circ}$ は問題の解答に相応しい区間です。
$\displaystyle \sin{90^{\circ}}=1 > \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $90^{\circ}$ を含む $60^{\circ} \leqq \theta < 120^{\circ}$ は問題の解答に相応しくない区間です。
$\displaystyle \sin{180^{\circ}}=0 < \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $180^{\circ}$ を含む $120^{\circ} \leqq \theta < 180^{\circ}$ は問題の解答に相応しい区間です。
という事で
$0^{\circ} \leqq \theta \leq 60^{\circ},120^{\circ} \leq \theta \leqq 180^{\circ}$
が答えになります。

$(2)\displaystyle \frac{1}{2} \leq \sin{\theta} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
まずは等式と思って解きましょう。
等式を満たす $\theta$ は $30^{\circ},45^{\circ},135^{\circ},150^{\circ}$ ですね。

ではこの $\theta$ で与えられている区間を区切ります。
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ},30^{\circ} < \theta < 45^{\circ},45^{\circ} < \theta < 135^{\circ},135^{\circ} < \theta < 150^{\circ},150^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}$

さて、代表値を選んでいきたいのですが、選べない区間がありますね。
$0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ}$ は $0^{\circ}$ 、 $30^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$ は選べない、 $45^{\circ} < \theta < 135^{\circ}$ は $90^{\circ}$ 、 $135^{\circ} < \theta < 150^{\circ}$ は選べない、 $150^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}$ は $180^{\circ}$ 、にしましょうか。

さて、選べない区間を見てみましょう。
例えば $30^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$ ですね。
この区間で $\sin{\theta}$ は $\sin{30^{\circ}}$ から $\sin{45^{\circ}}$ に変化していきます。
つまりこの間の値をとりますね？
$\displaystyle \sin{30^{\circ}}=\frac{1}{2},\sin{45^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ です。
$\displaystyle \frac{1}{2} < \sin{\theta} < \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。
これは問題の条件に当てはまりますので、この区間は解答に含める区間です。

もう1つも同じように考えていきましょう。
$135^{\circ} < \theta < 150^{\circ}$ ですね。
この区間で $\sin{\theta}$ は $\sin{135^{\circ}}$ から $\sin{150^{\circ}}$ に変化していきます。
この間の値をとります。
$\displaystyle \sin{135^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin{150^{\circ}}=\frac{1}{2}$ です。
$\displaystyle \frac{1}{2} < \sin{\theta} < \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。
やはりこれも問題の条件に当てはまりますので、この区間は解答に含める区間です。

残りの区間を見ていきましょう。
$0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ}$ のときは $\sin{0^{\circ}}=0$ より相応しくありませんね。 $45^{\circ} < \theta < 135^{\circ}$ のときは $\sin{90^{\circ}}=1$ より相応しくありません。 $150^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}$ のときは $\sin{180^{\circ}}=0$ でやはり相応しくありません。
従って答えは、 $30^{\circ} \leq \theta \leq 45^{\circ},135^{\circ} \leq \theta \leq 150^{\circ}$ になります。

$(3)\displaystyle \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan$ のときは気を付けなければならない点があります。
それは、 $\theta < 90^{\circ}$ と $\theta > 90^{\circ}$ で一度途切れているという点です。

まずは等式を満たす $\theta$ を求めましょう。
$\theta=30^{\circ}$ ですね。

次に区間を区切ります。
このとき $\theta=90^{\circ}$ でも区切るようにしてください。
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ},30^{\circ} < \theta < 90^{\circ},90^{\circ} < \theta \leq 180^{\circ}$

$0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ}$ は $0^{\circ}$ 、 $30^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ は $60^{\circ}$ 、 $90^{\circ} < \theta \leq 180^{\circ}$ は $180^{\circ}$ にしましょうか。

$0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ}$ のときは $\tan{0^{\circ}}=0$ は問題の解答に相応しい区間です。
$30^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のときは $\tan{60^{\circ}}=\sqrt{3}$ より相応しくありませんね。
$90^{\circ} < \theta \leq 180^{\circ}$ のときは $\tan{180^{\circ}}=0$ は問題の解答に相応しい区間です。
よって、 $0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ},90^{\circ} < \theta \leq 180^{\circ}$
$30^{\circ} ,90^{\circ}$ が範囲に含まれるかどうかは忘れずに確認してください。

応用問題（混じった三角比）

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めなさい。
$\displaystyle 2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta} \leq 3$

解き方

三角方程式の問題の解法でも解説しておりますが、いずれかに消えていただきましたね。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。

解説

$\displaystyle 2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta} \leq 3$
三角関係の相互関係を使いましょう。
$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$ ですね。
$\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}$ で置換します。

$2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta}\leq 3$
$2(1-\sin^2{\theta}) +3\sin{\theta}\leq 3$
$2-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}\leq 3$
$-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}-1\leq 0$
$2\sin^2{\theta} -3\sin{\theta}+1\geq 0$
$(2\sin{\theta}-1)(\sin{\theta}-1)\geq 0$

方程式の場合は $2\sin{\theta}-1=0,\sin{\theta}-1=0$ として解きました。
$\theta=30^{\circ},90^{\circ},150^{\circ}$ となります。
区間を区切って値を代入していくことでも答えが導けそうですね。
しかし、次の二次不等式を使った解き方が一般的です。

二次不等式としてみる

$2\sin^2{\theta} -3\sin{\theta}+1\geq 0$ を $t=sin{\theta}$ で置換してみましょう。
$2t^2 -3t+1\geq 0$
二次不等式の解法の問題になりました。
$(2t-1)(t-1)\geq 0$
ですから下に凸のグラフが $\displaystyle t=1,\frac{1}{2}$ で二次方程式の解になっています。
これが0以上となるのは、解の外側でしたね。
$\displaystyle t\leq \frac{1}{2},t \geq 1$ となります。

$t=sin{\theta}$ でしたので、 $\displaystyle sin{\theta} \leq \frac{1}{2},sin{\theta} \geq 1$ となります。
これを解くと、 $0 \leq \theta\leq 30^{\circ},\theta= 90^{\circ},150^{\circ} \leq \theta \leq 180$ となります。

応用問題（角がずれている）

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めなさい。
$\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}\geq \frac{1}{2}$
※数学Ⅱで角を一般角として拡張する必要があり、数学Ⅰでは出てこないと思います。
※本当は $\pi$ を使いたいんです。

解き方

これも三角方程式の問題の解法で方程式の形で解説しています。
同じように進めていきます。
$\theta$ がずれているとこれもややこしくなりますので、邪魔なずれに消えていただきましょう。
この場合は $\theta' = \theta + 45^{\circ}$ 等として置換して考える方法が良いと思います。

解説

$\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}\geq \frac{1}{2}$
$\theta'=\theta+45^{\circ}$ として置換します。
条件となる $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ もずれることに注意しましょう。
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$0^{\circ}+45^{\circ} \leqq \theta +45^{\circ} \leqq 180^{\circ}+45^{\circ}$
$45^{\circ} \leqq \theta' \leqq 225^{\circ}$

三角不等式の方も置換して等号を満たす $\theta'$ を求めます。
$\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}\geq \frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin{\theta'}\geq \frac{1}{2}$
等号を満たす $\theta'$ は
$\displaystyle \theta'= 30^{\circ} \pm 360^{\circ}\times n,150^{\circ} \pm 360^{\circ}\times n$ ( $n$ は整数)です。

条件となる範囲に当てはまる解は、 $\displaystyle \theta'=150^{\circ}$ となり、1つだけです。
この値で区間を区切ります。
$45^{\circ} \leqq \theta' \leqq 225^{\circ}$
$45^{\circ} \leqq \theta' < 150^{\circ},150^{\circ} < \theta' \leqq 225^{\circ}$
代表値を決めて確認していきます。
$45^{\circ} \leqq \theta' < 150^{\circ}$ は $\theta'=90^{\circ}$ で $\displaystyle \sin{90^{\circ}}=1$ となり相応しいですね。
$150^{\circ} < \theta' \leqq 225^{\circ}$ は $\theta'=180^{\circ}$ で $\displaystyle \sin{180^{\circ}}=0$ となり相応しくありません。

従って $45^{\circ} \leq \theta' \leq 150^{\circ}$ となります。
置換を元に戻して答えましょう。
$\displaystyle 45^{\circ} \leq \theta+45^{\circ} \leq 150^{\circ}$
$\displaystyle 0^{\circ} \leq \theta \leq 105^{\circ}$