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平面図形の問題の解法

平面図形で習う円の接線と扇形、回転移動等を利用した問題です。

基本問題

(1)次の図形の\angle{COA}=120^{\circ}のとき、\angle{OBA}を求めなさい。
接線の角度

(2)次の直径6cmの扇形が、\angle{AOB}=60^{\circ}のとき、面積と周の長さを求めなさい。
扇形

(3)次の一辺が6cmの正方形の図形の中の斜線部分の面積を求めなさい。ただし図は正方形と扇形を組み合わせたものとする。
ラグビー型

解き方

円の接点から円の中心に引いた線と、その接点を通る円の接線は90^{\circ}で交わります。
(1)はこの性質を使います。
図形の問題はわかるものからどんどん図に書き込んでいってくださいね。

扇形の面積と弧の長さはその中心角に「比例」します。
中心角が0^{\circ}のとき面積は0、90^{\circ}で円の4分の1、180^{\circ}で円の半分、360^{\circ}で円の面積と等しくなります。
周の長さも同じです。
ちなみに、周の長さと言われているのか、弧の長さと言われているかは注意してくださいね。
周と言ったら、半径部分の長さも含まれますからね。

解説

(1)次の図形の\angle{COA}=120^{\circ}のとき、\angle{OBA}を求めなさい。
こういった図形の問題はわかる情報を書き込んでいくと答えです
まず問題に書いてある\angle{COA}=120^{\circ}を図に書き込みます。
意外と忘れられがちですが、直線なので\angle{COB}=180^{\circ}です。
\angle{AOB}+\angle{AOC}=180^{\circ}ということです。
\angle{COA}=120^{\circ}ですので、これを代入すると、\angle{AOB}+120^{\circ}=180^{\circ}ですね。
\angle{AOB}=60^{\circ}を図に書き込みます。

次に接線という情報を使います。
\angle{OAB}=\angle{OAT}=90^{\circ}です。
これも図に書き込みます。

もう一つ図形の性質が使えますね。
\triangle{OAB}は三角形なので、内角の和が180^{\circ}となります
\angle{AOB}+\angle{OBA}+\angle{BAO}=180^{\circ}ということですね。
この式に\angle{AOB}=60^{\circ}\angle{OAB}=90^{\circ}を代入します。
60^{\circ}+\angle{OBA}+90^{\circ}=180^{\circ}となります。
\angle{OBA}=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}となります。

(2)次の直径6cmの扇形が、\angle{AOB}=60^{\circ}のとき、面積と周の長さを求めなさい。
まず問題に書いてある\angle{AOB}=60^{\circ}を図に書き込みます。
直径6cmなので半径3cmですね。
AO=BO=3(cm)も書き込みましょう。

後は中心角に比例する性質を使ってそれぞれ求めていきます。
円の面積(周の長さ):扇形の面積(弧の長さ)=360^{\circ}:60^{\circ}
外項の積=内項の積なので、
円の面積(周の長さ)\times 60^{\circ}=扇形の面積(弧の長さ)\times 360^{\circ}
扇形の面積(弧の長さ)=円の面積(周の長さ)\displaystyle \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}
という事ですね。

まず面積から求めましょうか。
円の面積は
3(cm)\times 3(cm)\time \pi=9\pi cm^2
なので、
扇形の面積\displaystyle =9\pi (cm^2) \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{3}{2}\pi (cm^2)
になります。

円の周の長さは
6(cm)\time \pi=6\pi (cm)
なので、
扇形の弧の長さ\displaystyle =6\pi (cm) \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi (cm)
になります。
問題は「周の長さ」なので半径部分を足さないといけません。
扇形の周の長さ\displaystyle =\pi (cm) +6(cm) =\pi +6 (cm)

(3)次の一辺が6cmの正方形の図形の中の斜線部分の面積を求めなさい。ただし図は正方形と扇形を組み合わせたものとする。
ラグビーボールのようなこの図形を求める公式はありませんね。
図形の求め方は「貼り合わせる」か、「覆うものから切り取る」です。

まず左下角を中心とする扇形と右上角を中心とする扇形の二枚張りあわされているような図形になっていますね。
この二枚を貼り合わせると、ラグビーボール部分が重なります。
「斜線以外の部分を面積が過分」
「斜線の部分の面積がが重なってしまっていて過分」
の状態ですね。
正方形の面積を引くと
「斜線以外の部分を面積が引かれてちょうどいい」
「斜線の部分の面積がが重なってしまっていた部分が一枚分引かれてちょうどいい」
つまり、求める面積です。

扇形と正方形の面積を求めればいいですね。

(2)で求めた答えを拝借します。
扇形の面積\displaystyle =\frac{3}{2}\pi (cm^2)
正方形の面積=6(cm) \times 6(cm)=36 (cm^2)

求める面積\displaystyle =\frac{3}{2}\pi (cm^2)+\frac{3}{2}\pi (cm^2)-36 (cm^2)
=3\pi -36 (cm^2)

応用問題

次の図形は半径6cmの円を右端の点を中心に時計回りに45^{\circ}傾けた図形です。
斜線部分の面積を求めなさい。
かまぼこ型

解き方

図形を回転させると扇形が描かれます。
図形の面積を求める問題は「貼り合わせる」か、「覆うものから切り取る」事を考えます。

解説

まず問題に書いてある45^{\circ}を図に書き込みます。
半径6cmなので直径は12cmですね。
これも図に書き込みましょう。
書き込む場所は45^{\circ}ずらす前と後、それぞれに書き込みましょう。

ちなみにこの図形、かまぼこ2個と8Pチーズ1個で描かれていますね。
斜線部分を覆う面積がかまぼこ1個と8Pチーズ1個です。
この斜線部分を覆う面積からかまぼこ1個を切り取ると斜線部分になります。

かまぼことチーズを求めていきます。

かまぼこは半径6cmの半円なので、
6(cm) \times 6(cm) \times \pi \div 2=18 \pi (cm^2)
チーズは半径12cmの8Pチーズなので、
12(cm) \times 12(cm) \times \pi \div 8=18 \pi (cm^2)

斜線部分の面積は18(cm^2)+18(cm^2)-18(cm^2)=18(cm^2)になります。

なお、かまぼこ1個と8Pチーズ1個からかまぼこ1個を引くと8Pチーズ1個ですね。
なので、実はこの場合はかまぼこは求めなくても答えを求めることができます。

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終わりに

円の性質は他にもたびたび出てきますが、重要な性質ばかりです。
作図と絡めて円の図形の性質を抑えておけるといいですね。

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