空間図形の問題の解法

空間図形の面積と表面積の問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)底辺4cm、高さ3cmの三角形を底面とする高さ5cmの角柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
(2)1辺が6cmの四角錐が高さ4cmのとき、側面の三角形の高さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。
(3)半径が4cmの円を底面とする高さ4cmの円柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
(4)半径が4cmの円錐が高さ3cmのとき、母線の長さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。
(5)半径が4cmの球の表面積Sと体積Vを求めなさい。

解き方

それぞれの空間図形を展開図にして表面積を求めましょう。
球は $\displaystyle 4\pi r^2$ で体積を求めることができます。

柱は底面積と高さの積で体積を求めることができます。
錐は底面積と高さの積に $\displaystyle \frac{1}{3}$ を掛けて体積を求めることができます。
球は $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$ で体積を求めることができます。

解説

(1)底辺4cm、高さ3cmの三角形を底面とする高さ5cmの角柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
展開図は、底面の三角形が2個、側面の長方形が3個できます。
底面の面積は $4(cm)\times 3(cm)\div 2 =6(cm)^2$
側面の面積は $4(cm)\times 5(cm) =20(cm)^2$
$S=2\times 6(cm)^2+3\times 20(cm)^2=12(cm)^2+60(cm)^2=72(cm)^2$

$V=4(cm)\times 3(cm)\div 2 \times 5(cm)=30(cm^3)$

(2)1辺が6cmの四角錐が高さ4cmのとき、側面の三角形の高さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。

展開図は、底面の四角形が1個、側面の三角形が4個できます。
底面の面積は $6(cm)\times 6(cm) =36(cm)^2$
側面の面積は $6(cm)\times 5(cm) \div 2=15(cm)^2$
$S= 36(cm)^2+4\times 15(cm)^2=36(cm)^2+60(cm)^2=96(cm)^2$

$\displaystyle V=6(cm)\times 6(cm) \times 4(cm)\times \frac{1}{3}=48(cm^3)$

(3)半径が4cmの円を底面とする高さ4cmの円柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
展開図は、底面の円が2個、側面の長方形が1個できます。
長方形の縦は高さの4cmです。
横の長さを求める必要があります。

元々この側面は底面の円とくっついていました。
横の長さは底面の円周と一致します。
（トイレットペーパーの芯で考えてみましょう）
つまり $8\time \pi(cm)=8\pi(cm)$ です。

底面の面積は $4(cm)\times 4(cm) \times \pi =16\pi(cm)^2$
側面の面積は $8\pi(cm)\times 4(cm) =32\pi(cm)^2$
$S=2\times 16\pi(cm)^2+32(cm)^2=32\pi(cm)^2+32\pi(cm)^2=64\pi(cm)^2$

$V=4(cm)\times 4(cm) \times \pi \times 4(cm)=64\pi(cm^3)$

(4)半径が4cmの円錐が高さ3cmのとき、母線の長さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。

展開図は、底面の円が1個、側面の扇形が1個できます。
扇形の中心角を求める必要があります。

元々この側面は底面の円とくっついていました。
扇形の弧の長さは、底面の円周と一致します。
（クラッカーで考えてみましょう）
つまり $8\time \pi(cm)=8\pi(cm)$ です。

母線の長さが5cmでした。
扇形の半径は5cmです。
これが円だった場合の円周は、
$10\time \pi(cm)=10\pi(cm)$ です。
$360^{\circ}$ で $10\pi(cm)$ という事は、何度で $8\pi(cm)$ になるのか？
比例式を作ればいいですね。
$360^{\circ}:10\pi(cm)=a^{\circ}:8\pi(cm)$ のaを求めましょう。
内項の積=外項の積なので、 $10\pi a=360\times 8\pi(cm)$ となって $a=288^{\circ}$ です。

底面の面積は $4(cm)\times 4(cm)\times \pi =16\pi(cm)^2$
側面の面積は $\displaystyle 5(cm)\times 5(cm)\times \pi\times \frac{288^{\circ}}{360^{\circ}}=25\pi \times 8\div 10=20\pi(cm)^2$
$S= 16\pi(cm)^2+20\pi(cm)^2=36\pi(cm)^2$

$\displaystyle V=4(cm)\times 4(cm) \times \pi \times 3(cm)\times \frac{1}{3}=16\pi(cm^3)$

(5)半径が4cmの球の表面積Sと体積Vを求めなさい。
公式を使いましょう。
$S= 4\times \pi \times 4(cm)\times 4(cm)=64\pi(cm)^2$
$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi 4(cm) \times 4(cm) \times 4(cm) =\frac{256}{3}\pi(cm^3)$

応用問題

(1)次の図のABを軸に回転させた図形の体積を求めなさい。

AB=4cm
AC=4cm

(2)(1)の図形をEF、DGで切り取った図形について、GFを軸に回転させた図形の体積を求めなさい。

AB=4cm
AC=4cm
AE=1cm
AF=2cm
BG=1cm
GD=1cm

解き方

回転させると、円柱や円錐になります。
円柱や円錐の体積を面積と同じように「くりぬく」か「くっつける」かします。

解説

(1)ABを軸に回転させた図形の体積 $V_1$ を求めなさい。
これは円錐になりますね。
$\displaystyle V_1=4(cm)\times 4(cm) \times \pi \times 4(cm)\times \frac{1}{3}=\frac{64}{3}\pi(cm^3)$