※記事の改善を目的に簡単なアンケートを記事の最下段に設置しています※
※わかりやすい、わかりにくい、両方の貴重なご意見を頂き、日々改善しております。※
※ご協力よろしくお願いいたします&ありがとうございます!※

空間図形の問題の解法

空間図形の面積と表面積の問題です。

基本問題

(1)底辺4cm、高さ3cmの三角形を底面とする高さ5cmの角柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
(2)1辺が6cmの四角錐が高さ4cmのとき、側面の三角形の高さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。
(3)半径が4cmの円を底面とする高さ4cmの円柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
(4)半径が4cmの円錐が高さ3cmのとき、母線の長さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。
(5)半径が4cmの球の表面積Sと体積Vを求めなさい。

解き方

それぞれの空間図形を展開図にして表面積を求めましょう。
球は\displaystyle 4\pi r^2で体積を求めることができます。

柱は底面積と高さの積で体積を求めることができます。
錐は底面積と高さの積に\displaystyle \frac{1}{3}を掛けて体積を求めることができます。
球は\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3で体積を求めることができます。

解説

(1)底辺4cm、高さ3cmの三角形を底面とする高さ5cmの角柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
展開図は、底面の三角形が2個、側面の長方形が3個できます
底面の面積は4(cm)\times 3(cm)\div 2 =6(cm)^2
側面の面積は4(cm)\times 5(cm) =20(cm)^2
S=2\times 6(cm)^2+3\times 20(cm)^2=12(cm)^2+60(cm)^2=72(cm)^2

V=4(cm)\times 3(cm)\div 2 \times 5(cm)=30(cm^3)

(2)1辺が6cmの四角錐が高さ4cmのとき、側面の三角形の高さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。

展開図は、底面の四角形が1個、側面の三角形が4個できます
底面の面積は6(cm)\times 6(cm) =36(cm)^2
側面の面積は6(cm)\times 5(cm) \div 2=15(cm)^2
S= 36(cm)^2+4\times 15(cm)^2=36(cm)^2+60(cm)^2=96(cm)^2

\displaystyle V=6(cm)\times 6(cm) \times 4(cm)\times \frac{1}{3}=48(cm^3)

(3)半径が4cmの円を底面とする高さ4cmの円柱の表面積Sと体積Vを求めなさい。
展開図は、底面の円が2個、側面の長方形が1個できます
長方形の縦は高さの4cmです。
横の長さを求める必要があります。

元々この側面は底面の円とくっついていました
横の長さは底面の円周と一致します。
(トイレットペーパーの芯で考えてみましょう)
つまり8\time \pi(cm)=8\pi(cm)です。

底面の面積は4(cm)\times 4(cm) \times \pi =16\pi(cm)^2
側面の面積は8\pi(cm)\times 4(cm) =32\pi(cm)^2
S=2\times 16\pi(cm)^2+32(cm)^2=32\pi(cm)^2+32\pi(cm)^2=64\pi(cm)^2

V=4(cm)\times 4(cm) \times \pi \times 4(cm)=64\pi(cm^3)

(4)半径が4cmの円錐が高さ3cmのとき、母線の長さは5cmになります。
表面積Sと体積Vを求めなさい。

展開図は、底面の円が1個、側面の扇形が1個できます
扇形の中心角を求める必要があります。

元々この側面は底面の円とくっついていました
扇形の弧の長さは、底面の円周と一致します。
(クラッカーで考えてみましょう)
つまり8\time \pi(cm)=8\pi(cm)です。

母線の長さが5cmでした。
扇形の半径は5cmです。
これが円だった場合の円周は、
10\time \pi(cm)=10\pi(cm)です。
360^{\circ}10\pi(cm)という事は、何度で8\pi(cm)になるのか?
比例式を作ればいいですね。
360^{\circ}:10\pi(cm)=a^{\circ}:8\pi(cm)のaを求めましょう。
内項の積=外項の積なので、10\pi a=360\times 8\pi(cm)となってa=288^{\circ}です。

底面の面積は4(cm)\times 4(cm)\times \pi =16\pi(cm)^2
側面の面積は\displaystyle 5(cm)\times 5(cm)\times \pi\times \frac{288^{\circ}}{360^{\circ}}=25\pi \times 8\div 10=20\pi(cm)^2
S= 16\pi(cm)^2+20\pi(cm)^2=36\pi(cm)^2

\displaystyle V=4(cm)\times 4(cm) \times \pi \times 3(cm)\times \frac{1}{3}=16\pi(cm^3)

(5)半径が4cmの球の表面積Sと体積Vを求めなさい。
公式を使いましょう。
S= 4\times \pi \times 4(cm)\times 4(cm)=64\pi(cm)^2
\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi 4(cm) \times 4(cm) \times 4(cm) =\frac{256}{3}\pi(cm^3)

応用問題

(1)次の図のABを軸に回転させた図形の体積を求めなさい。
コーン型
AB=4cm
AC=4cm

(2)(1)の図形をEF、DGで切り取った図形について、GFを軸に回転させた図形の体積を求めなさい。
回転体の体積
AB=4cm
AC=4cm
AE=1cm
AF=2cm
BG=1cm
GD=1cm

解き方

回転させると、円柱や円錐になります。
円柱や円錐の体積を面積と同じように「くりぬく」か「くっつける」かします。

解説

(1)ABを軸に回転させた図形の体積V_1を求めなさい。
これは円錐になりますね。
\displaystyle V_1=4(cm)\times 4(cm) \times \pi \times 4(cm)\times \frac{1}{3}=\frac{64}{3}\pi(cm^3)

(2)(1)の図形をEF、DGで切り取った図形について、GFを軸に回転させた図形の体積V_2を求めなさい。
回転させた図形はイメージできますか

複雑な図形の面積は「貼り合わせる」か「覆うものから切り取る」で求めました。
体積でも同じです。
(1)の円錐から\triangle{BDG}の円錐と\triangle{AEF}の円錐を切り取れば求める事ができそうですね。

\triangle{BDG}の円錐
\displaystyle V=1(cm)\times 1(cm) \times \pi \times 1(cm)\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\pi(cm^3)

\triangle{AEF}の円錐
\displaystyle V=1(cm)\times 1(cm) \times \pi \times 2(cm)\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\pi(cm^3)

よって、
V_2=\frac{64}{3}\pi(cm^3)-\frac{1}{3}\pi(cm^3)-\frac{2}{3}\pi(cm^3)=\frac{61}{3}\pi(cm^3)

終わりに

柱、錐、球の表面積と体積のそれぞれの求め方を解説しました。
\displaystyle \frac{1}{3}を忘れる」というのをよく耳にしますが、それは演習不足です。
簡単な図形で物足りなければ、どんどん複雑な図形に挑戦してみてください。
絶対に忘れなくなります。

関連

高校入試で出題される作図の問題
平面図形の問題の解法

アンケートのご協力をお願いいたします

最後までお読みいただきありがとうございました。 よろしければ記事改善のためのアンケートにご協力頂けましたら幸いです。 頂いた内容をもとに近日中に記事を改善させていただきます。 ご質問は数学の問題に関する質問から頂けますとお返事させて頂きます。

記事を作成するうえでの参考にご意見いただければ幸いです。

疑問は解消されましたか?
 された されなかった

このページの記事の内容はわかりやすかったですか?
 わかりやすい わかりにくい

よろしければわかりにくい場合の理由を教えてください。
 細かすぎる、当たり前なところまで書きすぎ 粗すぎる、行間の不足、論理の飛躍 前提となる知識の記載が無い 言葉の意味が分からない 答えに至る過程の何故そう考えたかの記載が無い 難しすぎてわからない 簡単すぎる 求めていた例題と異なる

ご要望やご意見、もしくは困っている事等(任意)


内容に問題が無ければこちらにチェックをつけて送信ボタンをクリックしてください。

数学解法の目次ページ

数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 高校の範囲に限定した目次を作成しました。
高校数学の解法(目次)
数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 中学校の範囲に限定した目次を作成しました。
中学数学の解法(目次)
数学, 解法
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • Evernoteに保存Evernoteに保存