三平方の定理の問題の解法

三平方の定理を使って直角三角形の辺の長さを求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)次の三角形のABの長さを求めなさい。

$BC=4,CA=3$

(2)次の三角形の面積を求めなさい。

$AB=6,CA=5,BC=8$

解き方

直角三角形に対し三平方の定理を使います。
(2)は直角三角形が無いですね。
補助線を引いて直角三角形を作ります。
そのうえで高さを求めていきます。

解説

(1)次の三角形のABの長さを求めなさい。

図を書いて、問題の長さを書き込んでくださいね。
これは三平方の定理をそのまま使います。

$AB^2=BC^2+CA^2$
ですから
$AB^2=4^2+3^2=16+9=25$
$AB=\pm 5$
$AB>0$ ですから、 $AB=5$ ですね。

ちなみにこの3:4:5の直角三角形は整数比の直角三角形として有名です。
3:4:5の他に、5:12:13や7:24:25などが有名です。

(2)次の三角形の面積を求めなさい。

高さがわかりません。
高さという辺の長さを求める方法は三平方の定理が使えるでしょう。
しかし直角三角形もありません。
無いときは、そう、作りましょう。

どこかの頂点から対辺に垂線を引きます。
それがちょうど高さになり、直角三角形を作れます。

こんな感じですね。
直角三角形 $\triangle{ABH},\triangle{ACH}$ が作れました。
もちろん他にも2つ候補がありますが、わざわざ首をかしげるような垂線を引く必要もないです。

さて、またここで問題です。
三平方の定理を使いたいわけですが、2辺のわかっている直角三角形がありません。
わからないときは、そう、文字です。

AB,CAはわかっていますね。
BH,CHがわかれば答えを求める事が出来そうですよね？
この感覚が大切です。
この問題はBH,CHを求める問題でもあるわけです。

では $x=BH$ としてみましょう。
すると $BH+HC=BC$ ですから、 $x+HC=8$ です。
$HC=8-x$ ですね。

$\triangle{ABH}$ に三平方の定理を使ってみます。
$AB^2=AH^2+BH^2$
$6^2=AH^2+x^2$
$36=AH^2+x^2$ ･･･①
式1つに文字2つは解が1つに定まりません。

もう1つ式が欲しい。
ちょうどいいところにもう一つ直角三角形があるじゃないですか。

というわけで $\triangle{ACH}$ に三平方の定理を使ってみます。
$AC^2=AH^2+CH^2$
$5^2=AH^2+(8-x)^2$
$25=AH^2+64-16x+x^2$
$-39=AH^2-16x+x^2$ ･･･②

さて①②の連立方程式を解いていきます。
どちらかの文字を消すとするとAHが消しやすいですね。
AHを消しましょう。
①-②ですかね。
$36-(-39)=x^2-(-16x+x^2)$
$36+39=x^2+16x-x^2$
ラッキーな事に $x^2$ も消えてくれちゃいました。
$75=16x$
$\displaystyle x=\frac{75}{16}$ ･･･③
だいたい5無い位です。
$x=BH$ としていました。
$BC=8$ ですから、ちょうど良さそうです。

もう答えも出そうですね。
①に③を代入しましょう。
$\displaystyle 36=AH^2+\left(\frac{75}{16}\right)^2$
$\displaystyle AH^2=36-\frac{5625}{256}$
値が大きい･･･。
すみません。
$\displaystyle AH^2=\frac{9216}{256}-\frac{5625}{256}$
$\displaystyle AH^2=\frac{3591}{256}$
$AH>0$ なので、
$\displaystyle AH=\frac{\sqrt{3591}}{16}$
$3591=3^3 \cdot 7\cdot 19$ で
$\displaystyle AH=\frac{3\sqrt{399}}{16}$
高さを求める事が出来ました。

問題は「面積を求めなさい」でしたね。
高さを出して安心して面積出し忘れる事件はあるあるなので気を付けてください。
という事で三角形の面積です。
$\displaystyle 8\times\frac{3\sqrt{399}}{16} \div 2=\frac{3\sqrt{399}}{4}$

なお、 $x=BH$ としてみましたが、 $x=CH$ でもできますよ。

応用問題

(1)次の三角形の面積を求めなさい。

$AB=4,AC=4$
$\angle{CAB}=45^{\circ}$

解き方

基本問題と同じです。
直角三角形が無いので作りましょう。
今回のポイントは「どこで直角三角形を作るか」になります。

$45^{\circ},60^{\circ}$ の角度がある場合、そこに直角三角形を作ると線分比が使えます。
$45^{\circ}$ のときは $1:1:\sqrt{2}$ です。
$60^{\circ}$ のときは $1:2:\sqrt{3}$ です。

解説

AからBCに垂線を引いてもBCがわからないので先程の「手」が使えません。

今回は $45^{\circ}$ という情報の出され方をしています。
しぶしぶ首を傾げながらBからCA、もしくはCからABに垂線を引きましょう。

こんな感じですね。

$45^{\circ}$ の直角三角形ができました。
$AD:DB:AB=1:1:\sqrt{2}$ が使えます。
$AD:AB=1:\sqrt{2}$ という事になりますね。
AB=4でしたから $\sqrt{2}AD=4$ でこれを整理して、
$\displaystyle AD=\frac{4}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle AD=\frac{4\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle AD=2\sqrt{2}$
今回はxの出番がありませんでしたね。

$AD:DB:AB=1:1:\sqrt{2}$ をまた使うと、
$AD:DB=1:1$ です。
$AD=DB=2\sqrt{2}$ です。
高さが求まりましたね。

面積を求めましょう。
$4\times 2\sqrt{2}\div 2=4\sqrt{2}$

余談ですが高校生でならう三角比を使うと
$\displaystyle S=\frac{1}{2}\times 4 \times 4 \times \sin{45^{\circ}}$
$\displaystyle =8 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle =8\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle =4\sqrt{2}$
で問題を見て式一発で求めることができます。
三角比を習うのが楽しみで仕方なくなりますね！

終わりに

三平方の定理は高校数学になっても使います。
心臓を動かす位無意識に使えるようになりましょう。