2点間の距離の問題の解法

三平方の定理を使い2点間の距離を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)2点A,B間の距離を求めなさい。

$A(1,1),B(3,4)$

解き方

2点がx軸に平行な直線上にある場合はx座標の差になりますね。
y軸に平行な直線上にある場合はy座標の差です。
そうでない場合、2点間の距離を求めるときは三平方の定理の出番です。
直角三角形が無ければ作ればいい、作るときには線分の長さが求められるかどうか。
x軸に平行な線、y軸に平行な線を2点を通るよう、2本ずつ引きましょう。
ABを斜辺とする直角三角形ができますね。

一応公式があります。
$A=(x_a,y_a),B=(x_b,y_b)$ のとき $AB=\sqrt{(x_b-x_a)^2-(y_b-y_a)^2}$
ただの三平方の定理です。

解説

(1)2点A,B間の距離を求めなさい。

解き方のとおり直角三角形を作りましょう。

まず線分の長さを求めておきましょう。
$AC=|3-1|=2,BC=|1-4|=3$
ですね。
三平方の定理より
$AB^2=AC^2+BC^2$
$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$
$AB=\pm \sqrt{13}$
$AB>0$ なので $AB=\sqrt{13}$ です。

応用問題

(1) $\triangle{ABC}$ の面積をACとBHの長さを使って求めなさい。

$A(1,1),B(3,4),C(4,0)$

解き方

座標から線分の長さを求めることができます。
線分の長さがわかると面積を求めることができます。
どちらも三平方の定理のおかげです。

ちなみに方法を指定されたのでその方法で解いています。
この問題の場合はACとBHから求めるよりも他の方法を使った方が計算は楽ですね。

解説

(1) $\triangle{ABC}$ の面積を求めなさい。

まず線分の長さを求めておきましょう。

ABは基本問題の(1)を拝借して $AB=\sqrt{13}$ ですね。

BCは、B,Cの座標を使って
$BC^2=(4-3)^2+(0-4)^2$
$BC^2=1+16=17$
$BC=\pm \sqrt{17}$
$BC>0$ なので $BC=\sqrt{17}$ です。

CAは、C,Aの座標を使って
$CA^2=(1-4)^2+(1-0)^2$
$CA^2=9+1=10$
$CA=\pm \sqrt{10}$
$CA>0$ なので $BC=\sqrt{10}$ です。

3辺の長さがわかっていて、高さを求めれば面積を求める事ができる状態になりました。
三平方の定理の問題の解法の基本問題(2)で使った方法が使えそうです。

$x=AH$ とすると $HC=AC-AH=\sqrt{10}-x$
$\triangle{ABH}$ で三平方の定理を使うと、
$AB^2=AH^2+BH^2$
$13=x^2+BH^2$ ･･･①
$\triangle{BCH}$ で三平方の定理を使うと、
$BC^2=BH^2+CH^2$
$17=BH^2+(\sqrt{10}-x)^2$
$17=BH^2+10-2\sqrt{10}x+x^2$ ･･･②
②-①を計算すると
$17-13=10-2\sqrt{10}x$
$-6=-2\sqrt{10}x$
$\displaystyle x=\frac{3}{\sqrt{10}}$
$\displaystyle x=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ ･･･③
③を①に代入すると、
$\displaystyle 13=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2+BH^2$
$\displaystyle 13=\frac{90}{100}+BH^2$
$\displaystyle BH^2=13-\frac{90}{100}$
$\displaystyle BH^2=\frac{1300-90}{100}$
$\displaystyle BH^2=\frac{1210}{100}$
$1210=2\times 5 \times 11^2$ です。
$BH>0$ なので、
$\displaystyle BH=\sqrt{11\frac{10}{10}}$

面積は
$\displaystyle AC \times BH \div 2 =\sqrt{10} \times \frac{11\sqrt{10}}{10} \div 2=\frac{11\times 10}{10\times 2}$
$\displaystyle =\frac{11}{2}$
になります。

面積の問題は、
「求める面積を含む図形から不要な部分を切り取る方法」

「いくつかに分解して足す方法」

が使えます。

「求める面積を含む図形から不要な部分を切り取る方法」
PQRCの面積は $3\times 4=12$
PCAの面積は $\displaystyle 3\times 1\div 2=\frac{3}{2}$
QABの面積は $\displaystyle 2\times 3\div 2=3$
RCBの面積は $\displaystyle 4\times 1\div 2=2$
よって、
$\displaystyle 12-\left(\frac{3}{2}+3+2\right)$
$\displaystyle =12-\frac{13}{2}$
$\displaystyle =\frac{11}{2}$

「いくつかに分解して足す方法」
ASBの面積は $\displaystyle 2\times 3\div 2=3$
CSAの面積は $\displaystyle 2\times 1\div 2=1$
BSCの面積は $\displaystyle 3\times 1\div 2=\frac{3}{2}$
よって、
$\displaystyle 3+1+\frac{3}{2}$
$\displaystyle =\frac{11}{2}$