三角形の合同の問題の解法

三角形の合同の証明と合同の性質を使った問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $\triangle{ADF} \equiv\triangle{BEF}$ を証明しなさい。

$AD=BE$
$\angle{ADF}=\angle{BEF}$

(2) $\triangle{AEB} \equiv\triangle{CED}$ を証明しなさい。

$AB//DC$
EはBDの中点

解き方

三角形の合同条件は3つありましたね。

3組の辺がそれぞれ等しい
2辺とその間の角がそれぞれ等しい
1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

これらを満たすまで角や線の長さを埋めていきます。
また、具体的な値を求めなくても良く、「こことここは等しい」という印で十分です。

解説

(1) $\triangle{ADF} \equiv\triangle{BEF}$ を証明しなさい。
問題より、 $\angle{ADF}=\angle{BEF}$ ･･･①
対頂角が等しくなる性質を使います。
$\angle{DFA}=\angle{EFB}$ ･･･②

三角形の内角の和が $180^{\circ}$ となる性質を $\triangle{ADF},\triangle{BEF}$ に使います。
$\angle{ADF}+\angle{DFA}+\angle{FAD}=180^{\circ}$ ･･･③
$\angle{BEF}+\angle{EFB}+\angle{FBE}=180^{\circ}$ ･･･④
①②を③に代入して
$\angle{BEF}+\angle{EFB}+\angle{FAD}=180^{\circ}$ ･･･⑤
④-⑤より
$\angle{FBE}-\angle{FAD}=0$
$\angle{FBE}=\angle{FAD}$ ･･･⑥

$AD=BE$ ･･･⑦
①⑥⑦より1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので $\triangle{ADF} \equiv\triangle{BEF}$

なお、⑥の求め方は二つの内角の和は残る角の外角に等しい性質を $\triangle{CAE},\triangle{CBD}$ に使っても良いですね。
$\angle{AEB}=\angle{CAE}+\angle{ACE}$ ･･･⑧
$\angle{BDA}=\angle{CBD}+\angle{BCD}$ ･･･⑨
$\angle{ACE}=\angle{BCD}$ と①を⑧に代入して
$\angle{BDA}=\angle{CAE}+\angle{BCD}$ ･･･⑩
⑨-⑩より
$0=\angle{CBD}-\angle{CAE}$
$\angle{CBD}=\angle{CAE}$
$\angle{FBE}=\angle{FAD}$

(2) $\triangle{AEB} \equiv\triangle{CED}$ を証明しなさい。
問題より $AB//DC$ であるから平行線の錯角は等しい性質より、
$\angle{DBA}=\angle{BDC}$
$\angle{EBA}=\angle{EDC}$ ･･･①
問題よりEはBDの中点であるから、
$BE=DE$ ･･･②
対頂角が等しくなる性質を使います。
$\angle{BEA}=\angle{DEC}$ ･･･③
①②③より1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので $\triangle{AEB} \equiv\triangle{CED}$

応用問題

$CA=CB$ を証明しなさい。

$AD=BE$
$\angle{ADF}=\angle{BEF}$

解き方

辺の長さの証明ですが、三角形の合同の結果を使います。

解説

$CA=CB$ を証明しなさい。
基本問題の(1)より $\triangle{ADF} \equiv\triangle{BEF}$ であるから3辺と3角はそれぞれ等しい。
$\angle{DAF}=\angle{EBF}$ ･･･①
$FA=FB$ ･･･②

②より、 $\triangle{AFB}$ は $FA=FB$ の二等辺三角形になるから、
$\angle{FBA}=\angle{FAB}$ ･･･③
①③より、
$\angle{CAB}=\angle{CAF}+\angle{FAB}=\angle{CBF}+\angle{FBA}=\angle{CBA}$
となり $\triangle{ACB}$ は $\angle{CAB}=\angle{CBA}$ の二等辺三角形になるから、
$CA=CB$