多角形の角の問題の解法

多角形の内角の和と外角の和の性質を使った問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

次の正六角形の $\angle{ADB},\angle{DBC}$ の値を求めなさい。

解き方

n角形の内角の和は $(n-2)\times 180^{\circ}$ になります。
n角形の外角の和は角度によらず $180^{\circ}$ になります。

解説

次の正六角形の $\angle{ADB},\angle{DBC}$ の値を求めなさい。
まず正六角形なので内角の和を6で割ると一つの角がわかりますね。
n角形の内角の和は $(n-2)\times 180^{\circ}$ でした。
六角形の内角の和は $(6-2)\times 180^{\circ}=4\times 180^{\circ}=720^{\circ}$ です。
1つの内角は $720^{\circ}\div 6 =120^{\circ}$ です。

正六角形なので各辺の長さが等しいですね。
$\triangle{BCD}$ は $BC=CD$ の二等辺三角形で $\angle{CDB}=\angle{DBC}$ です。
三角形の内角の和が $180^{\circ}$ となる性質を $\triangle{BCD}$ に使います。
$\angle{BCD}+\angle{CDB}+\angle{DBC}=180^{\circ}$ です。
$\angle{CDB}=\angle{DBC}$ なので $\angle{DBC}$ で統一し、1つの内角は $120^{\circ}$ を代入して。
$120^{\circ}+\angle{DBC}+\angle{DBC}=180^{\circ}$
$120^{\circ}+2\angle{DBC}=180^{\circ}$
$2\angle{DBC}=60^{\circ}$
$\angle{DBC}=30^{\circ}$

正六角形は左右対称なので、 $\angle{EDA}=\angle{ADC}$ となります。
1つの内角は $120^{\circ}$ なので $\angle{EDA}+\angle{ADC}=120^{\circ}$ です。
$\angle{EDA}=\angle{ADC}=60^{\circ}$ になります。

$\angle{ADC}=\angle{ADB}+\angle{BDC}$ なので、それぞれ代入します。
$60^{\circ}=\angle{ADB}+30^{\circ}$
$\angle{ADB}=30^{\circ}$

応用問題

(1)次の長方形をBCで折り曲げた図形の $\angle{EGC}$ の値を求めなさい。

$\angle{CBH}=65^{\circ}$

(2)次の図形の $\angle{ADB}$ の値を求めなさい。

$\angle{ACB}=50^{\circ}$
$\angle{CAD}=\angle{DAB}$
$\angle{CBD}=\angle{DBA}$

解き方

折り曲げられた問題は、折った部分の角度が等しくなっているという性質が使えます。

解説

(1)次の長方形をBCで折り曲げた図形の $\angle{EGC}$ の値を求めなさい。
折った部分の角度が等しくなっているという性質を使って、 $\angle{CBH}=\angle{GBC}=65^{\circ}$ になります。

平行線の錯角は等しい性質より $\angle{CBH}=\angle{BCG}=65^{\circ}$ になります。

二つの内角の和は残る角の外角に等しい性質を $\triangle{BCG}$ に使います。
$\angle{EGC}=\angle{GCB}+\angle{GBC}$ に代入します。
$\angle{EGC}=65^{\circ}+65^{\circ}$
$\angle{EGC}=130^{\circ}$

(2)次の図形の $\angle{ADB}$ の値を求めなさい。
数値の情報が非常に少ないですね。
埋める事の出来る角はありません。

$x=\angle{ADB}$ とします。

三角形の内角の和が $180^{\circ}$ となる性質を $\triangle{ADB}$ に使います。
$\angle{ADB}+\angle{DBA}+\angle{DAB}=180^{\circ}$ になります。
$x+\angle{DBA}+\angle{DAB}=180^{\circ}$ ･･･①
中途半端な式に見えるかもしれませんが、これも重要な情報になります。
$\angle{DBA}+\angle{DAB}$ がわかればxを求める事ができるようになるので、解答へのアプローチが増えるという利点があるからですね。

問題で与えられている $\angle{CAD}+\angle{DAB},\angle{CBD}+\angle{DBA}$ という性質を使いたいので、 $\angle{CAD},\angle{CBD}$ の角度に着目します。
三角形の内角の和が $180^{\circ}$ となる性質を $\triangle{ACB}$ に使いう事で新しい関係式を得ることができそうですね。
$\angle{ACB}+\angle{CBA}+\angle{CAB}=180^{\circ}$ に $\angle{ACB}=50^{\circ}$ を代入します。
$50^{\circ}+\angle{CBA}+\angle{CAB}=180^{\circ}$ になります。
$\angle{CBA}+\angle{CAB}=130^{\circ}$ ･･･②

$\angle{CAB}=\angle{CAD}+\angle{DAB},\angle{CBA}=\angle{CBD}+\angle{DBA}$ です。
問題より $\angle{CAD}=\angle{DAB},\angle{CBD}=\angle{DBA}$ でした。
$\angle{CAB}=\angle{CAD}+\angle{DAB}=\angle{DAB}+\angle{DAB}=2\angle{DAB}$
$\angle{CBA}=\angle{CBD}+\angle{DBA}=\angle{DBA}+\angle{DBA}=2\angle{DBA}$
両辺2で割って、
$\displaystyle \angle{DAB}=\frac{1}{2}\angle{CAB}$ ･･･③
$\displaystyle \angle{DBA}=\frac{1}{2}\angle{CBA}$ ･･･④
となります。

③,④は①の式と②の式をつなげる橋となります。
①で使われている $\angle{DBA},\angle{DAB}$ と②で使われている $\angle{CBA},\angle{CAB}$ の置き換えができるからです。
①と②の式がつながると、不明な角が無くなり、xの角度を求めることができるようになります。

③,④を①に代入します。
$x+\angle{DBA}+\angle{DAB}=180^{\circ}$
$\displaystyle x+\frac{1}{2}\angle{CBA}+\frac{1}{2}\angle{CAB}=180^{\circ}$
$\displaystyle x+\frac{1}{2}(\angle{CBA}+\angle{CAB})=180^{\circ}$
②の $\angle{CBA}+\angle{CAB}=130^{\circ}$ の式を使って、
$\displaystyle x+\frac{1}{2}(130^{\circ})=180^{\circ}$
$\displaystyle x+65^{\circ}=180^{\circ}$
$\displaystyle x=115^{\circ}$
$\angle{ADB}=115^{\circ}$ になります。
※2018/7/3修正しました、ご指摘ありがとうございます！