式の計算の問題の解法

単項式、多項式等の概念が加わります。
式の計算としての問題は次の2つが加わります。

同類項をまとめる問題
単項式どうしの乗法除法、多項式と数の乗法除法の問題

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の式を計算しなさい
(1) $(5a+3b)-(3a-2b)$
(2) $2(x+3y)-3(y-2x)$
(3) $\displaystyle \frac{3a-2b}{4}+\frac{2a-5b}{6}$
(4) $8xy^2\times 6x^6 \div (2x^2y)^2$

解き方

単項式1つ1つの計算は文字と式で履修済みです。
同類項どうしでしか加法減法を計算してはいけないという点に注意して計算しましょう。

解説

(1) $(5a+3b)-(3a-2b)$
()が付いています。
()の中は同類項ではないので、これ以上計算することができません。
()を外しましょう。

2つめの()は $-(3a-2b)$ となっています。
これは $+(-1)(3a-2b)$ という意味でしたので計算を進めると、
$+((-1)\cdot 3a+(-1)\cdot (-2b))$
$+(-3a+2b)$ となりますね。

$(5a+3b)-(3a-2b)$
$5a+3b-3a+2b$
$5a-3a+3b+2b$
$2a+5b$
答えです。

答案の見直しの際は代入による検算を使うと良いでしょう。
適当に計算しやすい $a=1,b=1$ などを使います。
$(5a+3b)-(3a-2b)$
$(5+3)-(3-2)=8-1=7$
$2a+5b$
$2+5=7$
代入した後の数字が合いましたね。
これを文字の数種類分確かめると、より正確な検算ができます。
（これは方程式の解がグラフになっているところに由来します･･･少し難しい話になってしまいますね）
$a=2,b=1$
$(5a+3b)-(3a-2b)$
$(10+3)-(6-2)=13-4=9$
$2a+5b$
$4+5=9$
これでばっちりです。

(2) $2(x+3y)-3(y-2x)$
(1)同様、()の中を計算できませんので()を外しましょう。
$2(x+3y)-3(y-2x)$
$2\cdot x+2\cdot 3y)+(-3)\cdot y+(-3)\cdot (-2x)$
$2x+6y-3y+6x$
$2x+6x+6y-3y$
$8x+3y$
答えです。

(3) $\displaystyle \frac{3a-2b}{4}+\frac{2a-5b}{6}$
分数が出てきました。
同じ分母であれば加法減法の計算ができますので、通分して計算を簡単にしましょう。
通分するときは分母の最小公倍数にすれば十分でしたね。
4,6なので12にしましょう。
$\displaystyle \frac{3a-2b}{4}+\frac{2a-5b}{6}$
$\displaystyle \frac{3a-2b}{4}\cdot \frac{3}{3}+\frac{2a-5b}{6}\cdot \frac{2}{2}=\frac{9a-6b}{12}+\frac{4a-10b}{12}=\frac{9a+4a-6b-10b}{12}=\frac{13a-16b}{12}$

こういう場合の検算はできるだけ楽したいですね。
1つはもともとの式が通分しないと計算できないので、通分する必要が無い値を代入しましょう。
$(a=2,b=3),(a=5,b=2)$ などです。
ちょっと楽になります。

(4) $8xy^2\times 6x^6 \div (2x^2y)^2$
加法減法が無い、単項式の乗法除法の計算です。
指数に注意して計算を進めましょう。
割り算は分数にすると良いともいます。
$8xy^2\times 6x^6 \div (2x^2y)^2$
$\displaystyle =2^3xy^2\times 2\cdot 3\cdot x^6 \times \frac{1}{(2x^2y)^2}$
$\displaystyle =\frac{2^4\cdot 3 \cdot x^7y^2}{2^2\cdot x^4y^2}$
$=2^2\cdot 3 \cdot x^3$
$=12x^3$
答えです。