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特定の条件を満たす点と一次関数の問題の解法

特定の条件を満たすような点の座標を求める問題です。

基本問題

2つの直線l:y=x+1,m:y=-x+3の交点をAとする。
直線m上の点Pをとる。
点Pからy軸に平行な直線を引いたとき、直線lとの交点をQ、x軸との交点をRとする。
(1)PQ=QRとなるときの点Pの座標を求めなさい。
(2)PQ=PRとなるときの点Pの座標を求めなさい。
一次関数_1

解き方

問題に記載の条件を整理して問題を解きましょう。
問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道です。

また数直線上でABの長さは|B-A|で求めることができます。
これをxy平面上でも使って線分の長さを計算します。

解説

問題に取り掛かる前にわかっている事を求めておきます。
まず交点Aの座標を求めておきましょう。
2つの直線の交点は、2つの直線の方程式の連立方程式を解けばよかったですね。
y=x+1・・・①
y=-x+3・・・②
①-②をしてyを消しましょうか。
0=2x-2
2x=2
x=1・・・③
③を①に代入して
y=1+1=2・・・④
という事で交点Aは(1,2)になります。

さて点Pはm上の点なのでx座標をx_pとすると
(x_p,-x_p+3)で表されますね。
点Qはl上の点でx座標はx_pになります。
(x_p,x_p+1)で表されます。
点Rはx軸上の点でx座標はx_pになります。
(x_p,0)で表されます。

準備OKです。

(1)PQ=QRとなるときの点Pの座標を求めなさい。
一次関数_1

PQ=QRという事なので、PQ,QRを求めましょう。
PQはPのy座標からQのy座標を引いて求めることができます。
PQ=-x_p+3-(x_p+1)=-2x_p+2
QRはQのy座標からRのy座標を引いて求めることができます。
QR=x_p+1-0=x_p+1
これが等しくなると言っています。
-2x_p+2=x_p+1
\displaystyle 3x_p=1
\displaystyle x_p=\frac{1}{3}
y座標は\displaystyle -x_p+3=-\frac{1}{3}+3=\frac{8}{3}
よって答えは\displaystyle (\frac{1}{3},\frac{8}{3})

(2)PQ=PRとなるときの点Pの座標を求めなさい。
一次関数_2

PQ=PRとなる可能性があるのは交点Aよりも右側ですよね。
後は(1)と同じです。

PQ=PRという事なので、PQ,PRを求めましょう。
PQは(1)で求めていますが、状況が変わっています。
Qのy座標からPのy座標を引いて求めることができます。
PQ=QP=x_p+1-(-x_p+3)=2x_p-2
PRはPのy座標からRのy座標を引いて求めることができます。
PR=-x_p+3-0=-x_p+3
これが等しくなると言っています。
2x_p-2=-x_p+3
\displaystyle 3x_p=5
\displaystyle x_p=\frac{5}{3}
y座標は\displaystyle -x_p+3=-\frac{5}{3}+3=\frac{4}{3}
よって答えは\displaystyle (\frac{5}{3},\frac{4}{3})

なお、交点を通るy軸と平行な線で対象になります。
これを使うと(1)の答えを使って、軸からの距離を求めて、
\displaystyle 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
軸の反対側は、
\displaystyle 1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}
こんな計算をしても良いですね。

終わりに

問題に記載の条件を整理して問題を解きましょう。
問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道です。

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