一次関数の問題の解法

一次関数の性質を使って傾きや切片を答えたり、変域を答えたり、交点を答えたりする問題です。
グラフを描いていませんが、グラフを描いてイメージしてください。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに
- 3.1 終わりの終わりに

基本問題

(1) $y=2x+5$ の傾きと切片を答えよ
(2) $y=2x+5$ の $x$ の変域が $-1 \leq x \leq 3$ のときの $y$ の変域を答えよ
(3)傾きが $-1$ で、 $(-1,2)$ を通る直線の式を答えよ
(4) $y=2x+5$ と $y=-x+1$ の交点を求めよ

解き方

一次関数は $y=ax+b$ で表されます。
傾きと切片の $a,b$ が決まれば、一次関数が決まります。
傾きは $x$ の増加量と $y$ の増加量で表されます。
切片は $y$ 軸の交点の $y$ 座標成分です。
交点と言えば連立方程式で、二つの式の連立方程式を解きます。

解説

(1) $y=2x+5$ の傾きと切片を答えよ
即答しましょう。
$x$ の係数が傾きなので、傾きは $2$ です。
定数部分が切片なので、切片は $5$ です。

(2) $y=2x+5$ の $x$ の変域が $-1 \leq x \leq 3$ のときの $y$ の変域を答えよ
変域を答える問題はグラフを描いて与えられた変域で切り取るとわかりやすいと思います。
また、傾きが正か負かというのも重要です。
傾きが正であれば右肩上がり、負であれば右肩下がりです。
傾きが正のとき、 $x$ の変域の小さいほうで最小値、 $x$ の変域の大きいほうで最大値を取ります。

問題を解きましょう。
$x=-1$ のときの $y=-2+5=3$ が最小値になります。
$x=3$ のときの $y=6+5=11$ が最大値になります。
よって、 $y$ の変域は $3 \leq y \leq 11$ です。

(3)傾きが $-1$ で、 $(-1,2)$ を通る直線の式を答えよ
傾きが $-1$ なので、 $y=-x+b$ で表されるはずですね。
$(-1,2)$ を通るそうなので、代入してみましょう。
$2=-(-1)+b$
$-b=1-2$
$-b=-1$
$b=1$
ということで、直線の式は $y=-x+1$ です。

(4) $y=2x+5$ と $y=-x+1$ の交点を求めよ
交点の前に、グラフの点とは何か思い出しましょう。
$y=2x+5$ のグラフの点は、 $y=2x+5$ を満たしています。
つまりこの2つ変数 $x,y$ をもつ方程式の解ですね。
（方程式が1つに対し変数が2つあるので）方程式の解はいくつも存在します。
$(-2,1),(-1,3),(0,5),(1,7)$ 全部方程式の解です。

では交点とは何か？
二つの方程式の解の「共通するもの」です。
言い換えると、「交点は2つの方程式の共通解」ですね。
さて、2つの方程式の共通解って何だったか。
そうです。
連立方程式の解です。
交点は連立方程式を解けばいいんですね。

では問題です。
「 $y=2x+5$ と $y=-x+1$ の交点」でした。
連立方程式を解く方法は2つありました。
代入法と加減法です。
二つの方法に共通するものは「片方の文字を消すこと」でした。

という事で、片方の文字を消します。
$y$ が代入法ですぐに消えそうですね。
$y=2x+5$ を $y=-x+1$ に代入しましょう。
$2x+5=-x+1$
$2x+x=1-5$
$3x=-4$
$\displaystyle x=-\frac{4}{3}$

$x$ がわかりましたので $y=2x+5$ に $x$ の値を代入して $y$ を求めると、
$\displaystyle y=2\times -\frac{4}{3}+5$
$\displaystyle y=-\frac{8}{3}+\frac{15}{3}$
$\displaystyle y=\frac{7}{3}$
したがって交点は、 $\displaystyle (-\frac{4}{3},\frac{7}{3})$ になります。

応用問題

(1) $(1,2),(3,5)$ を通る直線の式を答えよ
(2) $y=2x+5$ と $x$ 軸、 $y$ 軸に囲まれた図形の面積を答えよ
(3)一片が $4cm$ の正方形 $ABCD$ がある。
点 $P$ が $A$ を出発して秒速1センチメートルで $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A$ の順に動く。
点 $P$ が $A$ を出発して $t$ 秒後の $\triangle{APD}$ の面積を $S$ とする。
$S$ を $t$ の式で表しなさい。

解き方

(1),(2)は基本問題の積み重ねです。
(3)は動点の問題です。
動点の問題はいかにして文字で長さ等を表すことができるかにかかっています。
知りたい情報を文字式で表す方法を考えましょう。

解説

(1) $(1,2),(3,5)$ を通る直線の式を答えよ
やり方は2つあります。
連立方程式を使った解き方と、直線の性質を使った解き方です。

まず連立方程式を使った解き方です。
直線の式を $y=ax+b$ としましょう。
この直線の式が2点を通るという事なので代入します。
$2=a+b$ ･･･①
$5=3a+b$ ･･･②
$a,b$ の方程式が2つ得られましたので、連立方程式を解けばよいですね。

解ければなんでもいいのですが、②-①を計算します。
$5-2=3a-a+b-b$
$3=2a$
$\displaystyle a=\frac{3}{2}$
得られた $a$ を①に代入して $b$ を求めると
$\displaystyle 2=\frac{3}{2}+b$
$\displaystyle 2-\frac{3}{2}=b$
$\displaystyle \frac{1}{2}=b$
よって直線の式は、 $\displaystyle y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$ になります。

次に直線の性質を使った解き方です。
$(1,2),(3,5)$ を通るという事で、2点から傾きを求めます。

傾きは $x$ の増加量と $y$ の増加量で表されます。
$x$ の増加量は $3-1=2$ で、 $y$ の増加量は $5-2=3$ です。
したがって、傾きは $\displaystyle \frac{3}{2}$ です。

後は基本問題(3)の解き方でも良いですし、連立方程式の $a$ が求められた続きからでもいいです。
今回はもう少し直線の性質を使ってみましょう。
$(1,2)$ を通りますが、傾きを使って切片が求まりますね。
$\displaystyle 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
です。
よって直線の式は、 $\displaystyle y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$ になります。

(2) $y=2x+5$ と $x$ 軸、 $y$ 軸に囲まれた図形の面積を答えよ
関数と図形の混合問題です。
しかし、図形と言っても三角形の面積ですから、ほぼ関数の問題になります。
グラフを描いて、どの部分の面積を求めればよいかイメージしましょう。

さて、グラフが描けたら三角形の面積を求めれば良いことがわかりますね？
$y=2x+5$ と $x$ 軸の交点を $P$ 、 $y$ 軸の交点を $Q$ としましょう。
$OP$ が底辺、 $OQ$ が高さの三角形の面積ですね。
これは、点 $P,Q$ がわかればそれぞれの長さがわかります。
という事で点 $P,Q$ を求めましょう。

点 $Q$ は切片からすぐにわかりますね。
$(0,5)$ です。

点 $P$ は直線上の $y=0$ の点ですね。
$y=0$ を代入して、 $0=2x+5$ を解き、 $\displaystyle x=-\frac{5}{2}$ だとわかります。

長さは大きいほうから小さい方を引いて求める事ができます。
という事で、底辺が $\displaystyle 0-(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}$ 、高さが $5-0=5$ です。
つまり面積は、 $\displaystyle \frac{5}{2}\times 5 \div 2=\frac{25}{4}$ です。

(3) $S$ を $t$ の式で表しなさい。
このように点が動く問題は動点の問題と呼ばれています。
二次方程式以降も出てきますから、考え方はしっかりと理解しておきたいですね。

動点の問題は点 $P$ の動きに合わせて場合分けをしましょう。
場合分けは問題を簡単にしてくれます。
点 $P$ が $AB$ を動くときと、 $BC$ を動くときでは、動き方が違っていますよね？
これを分けずに考えると訳が分かりません。
なので場合分けして考えます。
このとき、変域も一緒に考えていきます。

$AB$ 上にいる場合
まず $\triangle{APD}$ は直角三角形になります。
底辺と高さもわかりやすいです。
$S=AP\times AD \div 2$ で表すことができますね。
後は $AP,AD$ を $t$ を使った式、もしくは定数で表すことができれば $t$ の式で表せます。

次に変域ですね。
$P$ が $AB$ 上にいる $t$ の条件です。
出発してから、4秒後までですね。
つまり、 $0 \leq t \leq 4$ です。

$AD=4$ ですね。
$P$ は $t$ 秒後に $A$ からどれだけ進んだ位置にいるのか？
早さが秒速1センチメートルでしたから、 $t$ ですね。
という事で、
$S=t\times 4 \div 2=2t$ で表すことができます。

$BC$ 上にいる場合
まず $\triangle{APD}$ は底辺が $AD$ 、高さが $AB$ の三角形になります。
底辺と高さが固定です。
$S=AB\times AD \div 2$ で表すことができますね。
$AD=4,AB=4$ ですから、 $S=4\times 4 \div 2=8$ で表すことができます。
$t$ によらず一定という事です。

次に変域ですね。
$P$ が $BC$ 上にいる $t$ の条件です。
4秒後に $B$ に到着して $C$ に到着する8秒後までですね。
つまり、 $4 \leq t \leq 8$ です。

$CD$ 上にいる場合
ここからが動点の問題の本丸です。

まず $\triangle{APD}$ は直角三角形になります。
$S=DP \times AD \div 2$ で表すことができますね。
$AD=4$ は固定ですが $PD$ はどう表すことができるでしょうか？
ポイントは $t$ は $A$ を出発したときからの時間という点です。

$DP$ がわからなければ $CD$ がわかっているので、 $CP$ がわかれば $DP$ を求める事ができますね？
$AB$ 上のときのように「 $CP=t$ だ！」と考えると間違ってしまうので気をつけましょう。
何故間違うのか？
$t$ は $A$ を出発したときからの時間だからですね。
$t$ が $C$ を出発するとき、既に $t=8$ です。
$P$ が $C$ を出発する段階で $CP=0$ ですから、 $CP\ne t$ です。

ではどう考えるか？
四角形で考えるから下に行ったり横に行ったり上に行ったりして難しいんですね。
四角形を直線に展開しましょう。
$A---B---C-P--D$ のような直線です。

$PD$ の長さは、 $AD$ の長さから $AP$ を引けばいいですね。
$AD=4+4+4=12$ になります。
$AP=t$ になります。
$DP=12-t$ というわけです。

さあ、もう少しでゴールです。
$AD=4,DP=12-t$ ですから、 $S=4\times (12-t) \div 2=2(12-t)=24-2t$ と表すことができます。

残りは変域ですね。
$P$ が $CD$ 上にいる $t$ の条件です。
8秒後に $C$ に到着して $D$ に到着する12秒後までですね。
つまり、 $8 \leq t \leq 12$ です。

$DA$ 上にいる場合
三角形がつぶれてしまいますから、
$S=0$ 、 $(12\leq t \leq 16)$ になります。

まとめると
$(0\leq t < 4)$ のとき $S=2t$
$(4\leq t < 8)$ のとき $S=8$
$(8\leq t < 12)$ のとき $S=24-2t$
$(12\leq t \leq 16)$ のとき $S=0$
です。

さて、一個だけ重要な注意点の補足と確認ポイントをご説明いたします。

まず注意点の補足です。
$t$ を複数の変域に区切りましたが、元々の範囲である $(0 \leq t \leq 16)$ をすっぽり覆えるようにしてください。
どこか僅かな区間や一点でも抜けていると減点です。

そして確認ポイントです。
各場合分けのつなぎ目の三角形は連続的に変化していますね？
こういう場合、つなぎ目で面積が一致するはずです。
$t=4$ のとき、 $S=2\times 4=8$ で一致しています。
$t=8$ のとき、 $S=24-2\times 8=24-16=8$ で一致しています。
$t=12$ のとき、 $S=24-2\times 12=24-2=0$ で一致しています。
100点や高得点を目指すためには、念のため確かめておくと良いでしょう。