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方程式の問題の解法

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一次の方程式を解く問題です。

基本問題

(1)~(3)は方程式を解きなさい。(4)は比例式を満たすxを求めなさい。
(1)2x+3=5
(2)2(x+3)+1=5
\displaystyle (3)\frac{2}{5}(2x+3)=\frac{1}{3}
(4)2:x=5:(3x+1)

解き方

方程式の基本は、左辺をx、右辺を定数の形に変形し
ax=b
の形を目指すことです。
その際に等式の両辺に同じ数を足したり掛けたりして変形します。
同じ重さの載っている天秤を扱う気持ちで臨んでください。
等式を正しく理解し、等式の変形を正しく行えるかというの点がポイントになります。

どうやって目指すかというと、左辺に取って邪魔なものを消していきます。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。

解説

(1)2x+3=5
まず左辺をxの項だけにしたいので、左辺の定数3消えていただきます
両辺に-3を足せばいいですね。
2x+3=5
2x+3-3=5-3
2x=2
あとはxの係数を1にすれば答えです。
xの係数の2消えていただきます
両辺を2で割ればいいですね。
2x=2
2x\div 2=2\div 2
x=1
答えです。

(2)2(x+3)+1=5
解き方は色々ありますが、まず展開してしまいましょう。
2(x+3)+1=5
2x+6+1=5
2x+7=5
左辺をxの項だけにしたいので、左辺の定数7消えていただきます
両辺に-7を足せばいいですね。
2x+7=5
2x+7-7=5-7
2x=-2
あとはxの係数を1にすれば答えです。
xの係数の2消えていただきます
両辺を2で割ればいいですね。
2x=-2
2x\div 2=-2\div 2
x=-1
答えです。

少し違うやり方もあります。
x+3の塊として見て進めます。
2(x+3)+1=5
左辺をx+3の項だけにしたいので、左辺の定数1消えていただきます
2(x+3)+1=5
2(x+3)+1-1=5-1
2(x+3)=4
あとはx+3の係数を1にします。
x+3の係数の2消えていただきます
2(x+3)=4
x+3=2
ここまでくれば今までの解き方と同じですね。
x+3=2
x+3-3=2-3
x=-1
答えです。
展開しないので掛け算の回数が減ることや数が大きくなりすぎなくなり、計算が簡単になる可能性があります。
どちらのやり方もできるようになりましょう。

\displaystyle (3)\frac{2}{5}(2x+3)=\frac{1}{3}
さて、分数が邪魔ですね。
早速消えていただきます
左辺の分母5を両辺に掛け、右辺の分母3も両辺に掛けます。
これは両辺の分母の最小公倍数を掛ければ十分です。
今回は15を両辺に掛けます。
\displaystyle \frac{2}{5}(2x+3)=\frac{1}{3}
\displaystyle \frac{2}{5}(2x+3)\times 15=\frac{1}{3}\times 15
(2\times 3)(2x+3)=5
6(2x+3)=5
これで(2)のような形になりました。
6(2x+3)=5
12x+18=5
12x=5-18
12x=-13
\displaystyle x=-\frac{13}{12}
が答えです。

(4)2:x=5:(3x+1)
比の場合2つのやり方で方程式に直せます。
1つめのやり方は分数、2つめのやり方は内項の積と外項の積です。

まず分数を使うやり方です。
2:x=5:(3x+1)
\displaystyle x=0,-\frac{1}{3}は式を満たしていないので、x \ne 0,3x+1 \ne 0です。
\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{5}{3x+1}
分数が出てくるのでx(3x+1)を掛けて分数に消えていただきます
\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{5}{3x+1}
\displaystyle \frac{2}{x}x(3x+1)=\frac{5}{3x+1}x(3x+1)
2(3x+1)=5x
展開すれば解けそうですね。
2(3x+1)=5x
6x+2=5x
6x-5x=-2
x=-2

次に内項の積と外項の積です。
2:x=5:(3x+1)
内項とは左辺の右の比と右辺の左の比のx,5です。
外項とは左辺の左の比と右辺の右の比の2,3x+1です。
内項同士の積と外項同士の積が等しくなります。
つまり、5x=2(3x+1)ですね。
これは分数を使ったやり方の途中で出てきました

比例式の場合はこのように分数を使ったやり方も、後者の内項の積と外項の積を使ったやり方も同じ式になります。
分数の分母を払う必要が無い分、後者の内項の積と外項の積を使ったやり方が良いですね。

応用問題

(1)ある数を2倍して5を足したものを更に2倍すると、もとの数の6倍に2を足した値になった。元の数はいくらか
(2)2x+a=5の解が2のときaの値はいくらか
(3)連続する3つの数を足したところ、一番小さい数の2倍の数になった。連続する3つの数は何か

解き方

文章題は問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道で解いてみましょう。
式さえ立てば、方程式を解くだけです。

解説

(1)ある数を2倍して5を足したものを更に2倍すると、もとの数の6倍に2を足した値になった。元の数はいくらか
ある数を求めたいので、ある数をxとしましょう。
問題のとおり計算を進めてみます。
「ある数を2倍して」・・・2xですね。
「5を足したもの」・・・2x+5ですね。
「更に2倍する」・・・2(2x+5)ですね。
ここでいっかいある数への計算が終わっていますね。
続きを読んでいきます。
「もとの数の6倍」・・・6xですね。
「2を足した値」・・・6x+2ですね。
「になった。」・・・文章の前半部分が、後半部分と等しくなったそうです。
つまり、2(2x+5)=6x+2ですね。
これを解きましょう。
2(2x+5)=6x+2
2x+5=3x+1
2x-3x=1-5
-x=-4
x=4
答えです。
4に対して問題の操作をして確かに等しくなることも確認しておくと良いですね。

(2)2x+a=5の解が2のときaの値はいくらか
解が2であるそうです。
つまり、x=2を代入した式が成り立っているというわけです。
代入してみましょう。
2x+a=5
2\times 2+a=5
4+a=5
これはaの方程式ですね。
この式を満たすaが答えです。
4+a=5
a=5-4
a=1
答えです。

(3)連続する3つの数を足したところ、一番小さい数の2倍の数になった。連続する3つの数は何か
連続する3つの数とありますが、これを求める問題なので、これを文字で表しましょう。
このとき使う文字は最小限にするというのがポイントです。

例えば一番小さい数をxとすれば、次の数はx+1、次の次の数はx+2ですね。
一番小さい数をx、次の数をy、次の次の数をzとバラバラの文字を使ってしまうと、一文字の方程式でなくなってしまいます
中学1年生の段階でこのような方程式を解く術は未だ習っていないですね。
(「代入すれば文字が消える!」という連立方程式の解き方に、中学1年生の段階で思いつけば素晴らしい!)
y=x+1z=y+1=x+2という式を立て、連立方程式という考え方を使えば解けます。

さて、問題に戻ります。
「連続する3つの数を足す」そうなので足します。
(x)+(x+1)+(x+2)=3x+3ですね。
これが「一番小さい数の2倍」である2xに「なった」そうです。
つまり、3x+3=2xですね。
これを解きます。
3x+3=2x
3x-2x=-3
x=-3
答をまとめましょう。
「連続する3つの数は何か」ですから、「-3,-2,-1」ですね。

X=-3」は問いに答えていないので、原点されてしまいます
必ず問題で聞いている答えを書きましょう。

終わりに

方程式は数学のベースのベースになります。
ほぼすべての単元で使います。
トレーニングになる演習問題も無料で公開しておりますので、よければご活用ください。
【演習問題】方程式(レベル1~2)

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