方程式の問題の解法

一次の方程式を解く問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)～(3)は方程式を解きなさい。(4)は比例式を満たす $x$ を求めなさい。
$(1)2x+3=5$
$(2)2(x+3)+1=5$
$\displaystyle (3)\frac{2}{5}(2x+3)=\frac{1}{3}$
$(4)2:x=5:(3x+1)$

解き方

方程式の基本は、左辺を $x$ 、右辺を定数の形に変形し
$ax=b$
の形を目指すことです。
その際に等式の両辺に同じ数を足したり掛けたりして変形します。
同じ重さの載っている天秤を扱う気持ちで臨んでください。
等式を正しく理解し、等式の変形を正しく行えるかというの点がポイントになります。

どうやって目指すかというと、左辺に取って邪魔なものを消していきます。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。

解説

$(1)2x+3=5$
まず左辺を $x$ の項だけにしたいので、左辺の定数 $3$ に消えていただきます。
両辺に $-3$ を足せばいいですね。
$2x+3=5$
$2x+3-3=5-3$
$2x=2$
あとは $x$ の係数を $1$ にすれば答えです。
$x$ の係数の $2$ に消えていただきます。
両辺を $2$ で割ればいいですね。
$2x=2$
$2x\div 2=2\div 2$
$x=1$
答えです。

$(2)2(x+3)+1=5$
解き方は色々ありますが、まず展開してしまいましょう。
$2(x+3)+1=5$
$2x+6+1=5$
$2x+7=5$
左辺を $x$ の項だけにしたいので、左辺の定数 $7$ に消えていただきます。
両辺に $-7$ を足せばいいですね。
$2x+7=5$
$2x+7-7=5-7$
$2x=-2$
あとは $x$ の係数を $1$ にすれば答えです。
$x$ の係数の $2$ に消えていただきます。
両辺を $2$ で割ればいいですね。
$2x=-2$
$2x\div 2=-2\div 2$
$x=-1$
答えです。

少し違うやり方もあります。
$x+3$ の塊として見て進めます。
$2(x+3)+1=5$
左辺を $x+3$ の項だけにしたいので、左辺の定数 $1$ に消えていただきます。
$2(x+3)+1=5$
$2(x+3)+1-1=5-1$
$2(x+3)=4$
あとは $x+3$ の係数を $1$ にします。
$x+3$ の係数の $2$ に消えていただきます。
$2(x+3)=4$
$x+3=2$
ここまでくれば今までの解き方と同じですね。
$x+3=2$
$x+3-3=2-3$
$x=-1$
答えです。
展開しないので掛け算の回数が減ることや数が大きくなりすぎなくなり、計算が簡単になる可能性があります。
どちらのやり方もできるようになりましょう。

$\displaystyle (3)\frac{2}{5}(2x+3)=\frac{1}{3}$
さて、分数が邪魔ですね。
早速消えていただきます。
左辺の分母 $5$ を両辺に掛け、右辺の分母 $3$ も両辺に掛けます。
これは両辺の分母の最小公倍数を掛ければ十分です。
今回は $15$ を両辺に掛けます。
$\displaystyle \frac{2}{5}(2x+3)=\frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{2}{5}(2x+3)\times 15=\frac{1}{3}\times 15$
$(2\times 3)(2x+3)=5$
$6(2x+3)=5$
これで(2)のような形になりました。
$6(2x+3)=5$
$12x+18=5$
$12x=5-18$
$12x=-13$
$\displaystyle x=-\frac{13}{12}$
が答えです。

$(4)2:x=5:(3x+1)$
比の場合2つのやり方で方程式に直せます。
1つめのやり方は分数、2つめのやり方は内項の積と外項の積です。

まず分数を使うやり方です。
$2:x=5:(3x+1)$
$\displaystyle x=0,-\frac{1}{3}$ は式を満たしていないので、 $x \ne 0,3x+1 \ne 0$ です。
$\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{5}{3x+1}$
分数が出てくるので $x(3x+1)$ を掛けて分数に消えていただきます。
$\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{5}{3x+1}$
$\displaystyle \frac{2}{x}x(3x+1)=\frac{5}{3x+1}x(3x+1)$
$2(3x+1)=5x$
展開すれば解けそうですね。
$2(3x+1)=5x$
$6x+2=5x$
$6x-5x=-2$
$x=-2$

次に内項の積と外項の積です。
$2:x=5:(3x+1)$
内項とは左辺の右の比と右辺の左の比の $x,5$ です。
外項とは左辺の左の比と右辺の右の比の $2,3x+1$ です。
内項同士の積と外項同士の積が等しくなります。
つまり、 $5x=2(3x+1)$ ですね。
これは分数を使ったやり方の途中で出てきました。

比例式の場合はこのように分数を使ったやり方も、後者の内項の積と外項の積を使ったやり方も同じ式になります。
分数の分母を払う必要が無い分、後者の内項の積と外項の積を使ったやり方が良いですね。

応用問題

(1)ある数を2倍して5を足したものを更に2倍すると、もとの数の6倍に2を足した値になった。元の数はいくらか
$(2)2x+a=5$ の解が $2$ のとき $a$ の値はいくらか
(3)連続する3つの数を足したところ、一番小さい数の2倍の数になった。連続する3つの数は何か

解き方

文章題は問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道で解いてみましょう。
式さえ立てば、方程式を解くだけです。

解説

(1)ある数を2倍して5を足したものを更に2倍すると、もとの数の6倍に2を足した値になった。元の数はいくらか
ある数を求めたいので、ある数を $x$ としましょう。
問題のとおり計算を進めてみます。
「ある数を2倍して」･･･ $2x$ ですね。
「5を足したもの」･･･ $2x+5$ ですね。
「更に2倍する」･･･ $2(2x+5)$ ですね。
ここでいっかいある数への計算が終わっていますね。
続きを読んでいきます。
「もとの数の6倍」･･･ $6x$ ですね。
「2を足した値」･･･ $6x+2$ ですね。
「になった。」･･･文章の前半部分が、後半部分と等しくなったそうです。
つまり、 $2(2x+5)=6x+2$ ですね。
これを解きましょう。
$2(2x+5)=6x+2$
$2x+5=3x+1$
$2x-3x=1-5$
$-x=-4$
$x=4$
答えです。
4に対して問題の操作をして確かに等しくなることも確認しておくと良いですね。

$(2)2x+a=5$ の解が $2$ のとき $a$ の値はいくらか
解が $2$ であるそうです。
つまり、 $x=2$ を代入した式が成り立っているというわけです。
代入してみましょう。
$2x+a=5$
$2\times 2+a=5$
$4+a=5$
これは $a$ の方程式ですね。
この式を満たす $a$ が答えです。
$4+a=5$
$a=5-4$
$a=1$
答えです。

(3)連続する3つの数を足したところ、一番小さい数の2倍の数になった。連続する3つの数は何か
連続する3つの数とありますが、これを求める問題なので、これを文字で表しましょう。
このとき使う文字は最小限にするというのがポイントです。

例えば一番小さい数を $x$ とすれば、次の数は $x+1$ 、次の次の数は $x+2$ ですね。
一番小さい数を $x$ 、次の数を $y$ 、次の次の数を $z$ とバラバラの文字を使ってしまうと、一文字の方程式でなくなってしまいます。
中学1年生の段階でこのような方程式を解く術は未だ習っていないですね。
（「代入すれば文字が消える！」という連立方程式の解き方に、中学1年生の段階で思いつけば素晴らしい！）
$y=x+1$ 、 $z=y+1=x+2$ という式を立て、連立方程式という考え方を使えば解けます。

さて、問題に戻ります。
「連続する3つの数を足す」そうなので足します。
$(x)+(x+1)+(x+2)=3x+3$ ですね。
これが「一番小さい数の2倍」である $2x$ に「なった」そうです。
つまり、 $3x+3=2x$ ですね。
これを解きます。
$3x+3=2x$
$3x-2x=-3$
$x=-3$
答をまとめましょう。
「連続する3つの数は何か」ですから、「-3,-2,-1」ですね。