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平均値の計算に関するTips

平均値の計算に関して知っておくと便利な事をいくつかご紹介いたします。

そもそもの平均値の式

平均値とは、n個の値a_1,a_2,...,a_nがあった時に
\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}
の事を言います。
この式は、総和を個数で割るという式になっている点を覚えておきましょう。
中間的な値になりますが、中央値、最頻値等と混同しないようにしましょう。

Tips

本記事の本題です。

値が一定のレンジにある場合

例えばこんなデータを考えてみます。
163,153,167,165,172,167
少々足し算する事が煩わしく感じるかもしれません。
例えばすべて160を基準に考えます。
160+3,160-7,160+7,160+5,160+12,160+7
すると、計算は以下の様に行うことができます。
\displaystyle \frac{160+3+160-7+160+7+160+5+160+12+160+7}{6}
\displaystyle =\frac{160 \times 6 +3-7+7+5+12+7}{6}
\displaystyle =160 + \frac{3-7+7+5+12+7}{6}
\displaystyle =160 + \frac{27}{6}
\displaystyle =160 + 4.5
\displaystyle =164.5
基準を設ける事で、基準は個数倍され、平均値の個数で割るという計算式にマッチし、分数の外に出すことができます。

データの1つが変わった場合

せっかく平均値を算出したのに、いくつかのデータに誤りがあり修正するような場合があるかもしれません。
そんな時は一から計算し直さず、平均値の性質を活用しましょう。
データの個数が6個、平均値が164.5のデータで、167が164になった場合を考えてみます。
ここで平均値は総和を個数で割った値という性質を思い出します。
すると、総和は\displaystyle 164.5\times 6=987です。
167が164に変わると3減るわけですから、総和は\displaystyle 987-167+164=987-3=984です。
総和を個数で割って、\displaystyle \frac{984}{6}=164です。

なお、3減るという点だけに着目しても計算を行うことができます。
3減るという事が平均としてどれだけの影響を及ぼすか考えます。
\displaystyle \frac{3}{6}=0.5
従って、164.5から0.5を引いて164という計算を行っても問題ありません。

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