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部分集合であることの証明の問題の解法

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部分集合であることを証明する問題です。

基本問題

(1)A=\{3n+1\},B=\{6n+1|nは整数\}とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。
(2)A=\{6n-5\},B=\{6n+1|nは整数\}とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。

解き方

まずはどのような包含関係が成り立ちそうか推測したほうがいいですね。
試しに書き出してみるとわかりやすいと思います。

A\subset Bであれば「Aの要素であればBに含まれる」という事を示しましょう。
A=BであればA\subset BかつB\subset Aですから、「Aの要素であればBに含まれる」ことと、「Bの要素であればAに含まれる」という事を示しましょう。

解説

(1)A=\{3n+1\},B=\{6n+1|nは整数\}とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。
A=\{...,-5,-2,1,4,7,...\}
B=\{...,-5,1,7,...\}
ですね。
どうやらB\subset Aになりそうです。

Bの要素は6n+1で表されます。
これは3(2n)+1です。
2nは整数ですから、3(2n)+1 \in Aですね。
従って、Bの要素はすべてAに含まれるため、B\subset Aになます。

(2)A=\{6n-5\},B=\{6n+1|nは整数\}とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。
A=\{...-11,-5,1,7,...\}
B=\{...,-5,1,7,13...\}
ですね。
どうやらB=Aになりそうです。

B\subset Aを示しましょう。
Bの要素は6n+1で表されます。
これは6(n+1)-5です。
n+1は整数ですから、6(n+1)-5 \in Aですね。
従って、Bの要素はすべてAに含まれるため、B\subset Aになます。

次にA\subset Bを示します。
Aの要素は6n-5で表されます。
これは6(n-1)+1です。
n-1は整数ですから、6(n-1)+1 \in Bですね。
従って、Aの要素はすべてBに含まれるため、A\subset Bになます。

A\subset BかつB\subset AよりA=Bになります。

終わりに

証明問題は慣れないと中々書き出せないかもしれません。
しかし証明問題は問題に答えが書いてあるようなものです。
今回の問題であれば「包含関係があるんだな」というヒントがあって、
「一方の集合に含まれているならばどう書けるかな」
「もう一方の集合に含まれる形に変形できるかな」
と進めていけば証明することができる問題でした。
多くの証明問題は、「○○であることを示せ」ですから、もう「○○」が成り立つって答えを書いてくれているんですよ。
証明問題は慣れてしまえば得点源になります

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