部分集合であることの証明の問題の解法

部分集合であることを証明する問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

(1) $A=\{3n+1\},B=\{6n+1|n$ は整数 $\}$ とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。
(2) $A=\{6n-5\},B=\{6n+1|n$ は整数 $\}$ とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。

解き方

まずはどのような包含関係が成り立ちそうか推測したほうがいいですね。
試しに書き出してみるとわかりやすいと思います。

$A\subset B$ であれば「Aの要素であればBに含まれる」という事を示しましょう。
$A=B$ であれば $A\subset B$ かつ $B\subset A$ ですから、「Aの要素であればBに含まれる」ことと、「Bの要素であればAに含まれる」という事を示しましょう。

解説

(1) $A=\{3n+1\},B=\{6n+1|n$ は整数 $\}$ とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。
$A=\{...,-5,-2,1,4,7,...\}$
$B=\{...,-5,1,7,...\}$
ですね。
どうやら $B\subset A$ になりそうです。

Bの要素は $6n+1$ で表されます。
これは $3(2n)+1$ です。
$2n$ は整数ですから、 $3(2n)+1 \in A$ ですね。
従って、Bの要素はすべてAに含まれるため、 $B\subset A$ になます。

(2) $A=\{6n-5\},B=\{6n+1|n$ は整数 $\}$ とするとき、A,Bの包含関係を示し、証明しなさい。
$A=\{...-11,-5,1,7,...\}$
$B=\{...,-5,1,7,13...\}$
ですね。
どうやら $B=A$ になりそうです。

$B\subset A$ を示しましょう。
Bの要素は $6n+1$ で表されます。
これは $6(n+1)-5$ です。
$n+1$ は整数ですから、 $6(n+1)-5 \in A$ ですね。
従って、Bの要素はすべてAに含まれるため、 $B\subset A$ になます。

次に $A\subset B$ を示します。
Aの要素は $6n-5$ で表されます。
これは $6(n-1)+1$ です。
$n-1$ は整数ですから、 $6(n-1)+1 \in B$ ですね。
従って、Aの要素はすべてBに含まれるため、 $A\subset B$ になます。

$A\subset B$ かつ $B\subset A$ より $A=B$ になります。

終わりに

証明問題は慣れないと中々書き出せないかもしれません。
しかし証明問題は問題に答えが書いてあるようなものです。
今回の問題であれば「包含関係があるんだな」というヒントがあって、
「一方の集合に含まれているならばどう書けるかな」
「もう一方の集合に含まれる形に変形できるかな」
と進めていけば証明することができる問題でした。
多くの証明問題は、「○○であることを示せ」ですから、もう「○○」が成り立つって答えを書いてくれているんですよ。
証明問題は慣れてしまえば得点源になります。