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場合の数の問題の解法

事象が何通りあるかを求める場合の数の問題です。
なお、高校生の方は最下部のリンクか、高校数学の解法(目次)から高校数学の内容から作成した問題の解法も参考になると思います。

基本問題

(1)5つのものから3つを選んで並べる方法は何通りあるか。
(2)5つのものから3つを選ぶ方法は何通りあるか。

解き方

(1)5つのものから3つを選んで並べる方法は何通りあるか。
5つのものをA,B,C,D,Eとすると、(A,B,C)という並びと(A,C,B)という並びを区別します。
こちらは順列と言いますね。
樹形図を書くとイメージしやすいかもしれません。
(2)5つのものから3つを選ぶ方法は何通りあるか。
5つのものをA,B,C,D,Eとすると、(A,B,C)という並びと(A,C,B)という組合せは同一のものとします。
こちらは組合せと言いますね。
樹形図で同じ組み合わせを消し込むことでも良いと思います。
他には表や多角形の各辺と対角線を使う方法もあります。

解説

(1)5つのものから3つを選んで並べる方法は何通りあるか。
樹形図を描いた結果を書き上げてみます。
(A,B,C)(A,B,D)(A,B,E)(A,C,B)(A,C,D)(A,C,E)(A,D,B)(A,D,C)(A,D,E)(A,E,B)(A,E,C)(A,E,D)
(B,A,C)(B,A,D)(B,A,E)(B,C,A)(B,C,D)(B,C,E)(B,D,A)(B,D,C)(B,D,E)(B,E,A)(B,E,C)(B,E,D)
(C,A,B)(C,A,D)(C,A,E)(C,B,A)(C,B,D)(C,B,E)(C,D,A)(C,D,B)(C,D,E)(C,E,A)(C,E,B)(C,E,D)
(D,A,B)(D,A,C)(D,A,E)(D,B,A)(D,B,C)(D,B,E)(D,C,A)(D,C,B)(D,C,E)(D,E,A)(D,E,B)(D,E,C)
(E,A,B)(E,A,B)(E,A,C)(E,B,A)(E,B,C)(E,B,D)(E,C,A)(E,C,B)(E,C,D)(E,D,A)(E,D,B)(E,D,C)
という事で、60個ありました。

まず、こうして数え上げる際の注意点、気にしてもらいたい点があります。
それは、規則的に数えていくことです。
辞書の順番に並んでいますね?
こうすると漏れにくくなります。

次に60個書くのは大変です。
規則を数式で書くことを考えましょう。
最初の文字の選び方は5通りですね。
次の文字は1つ選んでいるので残りの4つから選ぶので4通りです。
最後の文字は2つ選んでいるので残りの3つから選ぶので3通りです。
5\times 4 \times 3という式で求める事ができます。

n個のものからm個選んで並べる通り数は、
n\times(n-1)\times(n-2)...\times(n-m+1)
で求める事ができます。

(2)5つのものから3つを選ぶ方法は何通りあるか。
樹形図を描いた結果を消し込みます
(A,B,C)(A,B,D)(A,B,E)(A,C,B)(A,C,D)(A,C,E)(A,D,B)(A,D,C)(A,D,E)(A,E,B)(A,E,C)(A,E,D)
(B,A,C)(B,A,D)(B,A,E)(B,C,A)(B,C,D)(B,C,E)(B,D,A)(B,D,C)(B,D,E)(B,E,A)(B,E,C)(B,E,D)
(C,A,B)(C,A,D)(C,A,E)(C,B,A)(C,B,D)(C,B,E)(C,D,A)(C,D,B)(C,D,E)(C,E,A)(C,E,B)(C,E,D)
(D,A,B)(D,A,C)(D,A,E)(D,B,A)(D,B,C)(D,B,E)(D,C,A)(D,C,B)(D,C,E)(D,E,A)(D,E,B)(D,E,C)
(E,A,B)(E,A,B)(E,A,C)(E,B,A)(E,B,C)(E,B,D)(E,C,A)(E,C,B)(E,C,D)(E,D,A)(E,D,B)(E,D,C)
少しわかりにくいですね
(A,B,C)(A,B,D)(A,B,E)(A,C,D)(A,C,E)(A,D,E)
(B,C,D)(B,C,E)(B,D,E)
(C,D,E)
という事で、10個ありました。

組合せの場合も、こうして数え上げる際は規則的に数えてください。
辞書の順番に並んでいますが、(B,A)みたいな並びはすべて消せます。

次に10個位なら書くこともできますが、重複や漏れがやはり気になります。
規則を数式で書くことを考えましょう。
順列は5\times 4 \times 3という式で求める事ができました。
(A,B,C)と(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A)は同じです。
(B,C,D)も同様(B,D,C)(C,B,D)(C,D,B)(D,B,C)(D,C,B)は同じです。
これは3つのものから3つを並べる通り数になっていますね。
各組合せに対し、3つのものから3つを並べる通り数だけ同じ組が存在しています。
5\times 4 \times 33\times 2 \times 1という式で割ると求める事ができます。
計算すると、(5\times 4 \times 3) \div (3\times 2 \times 1)=60\div 6 = 10です。

りんごが10個あって、一個一個が6等分に切られているのをイメージすると良いかもしれません。
6等分されたりんごの1欠片が順列で書いた60個に対応していて、りんご1個は6欠片でできている、という事です。

n個のものからm個選ぶ通り数は、
\displaystyle \frac{n\times(n-1)\times(n-2)...\times(n-m+1)}{m\times(m-1)\times(m-2)...\times 1}
で求める事ができます。

応用問題

(1)NASUKENのアルファベットを並べる通り数は何通りあるか
(2)xy平面上の原点から(3,2)の整数点は縦に3点、横に4点格子状の点になります。
(0,0)から出発し→と↑に移動しながら(3,2)まで格子点を進む進み方は何通りあるか

解き方

(1)は順列の考え方を応用します。
重複するNを気にせず並べて、後で同じ並びを消し込みます。
(2)は→に3回、↑に2回の合計5回動きます。
→→→↑↑を並べるという事ですね。

解説

(1)NASUKENのアルファベットを並べる通り数は何通りあるか
7文字から7文字並べる通り数は、7\times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1で、5040です。
二つのNを区別してN_1,N_2とすると、
N_1ASUKEN_2N_2ASUKEN_1の並び方を2通りでカウントしてしまっています。
なのでこの消し込みを行います。
それぞれのNASUKENの並び方に対して2個ずつあるわけですから、2で割ればいいですね。
よって2520が答えです。

(2)(0,0)から出発し→と↑に移動しながら(3,2)まで格子点を進む進み方は何通りあるか
1つは5回のうち3回の→に動く場所を決めるという考え方があります。
5つのものから3つ選ぶ通り数は10通りでした。
これが答えです。

もう1つは→→→のそれぞれの間に↑を埋め込むという考え方があります。
バラバラに↑を埋め込む場合、4つから2つ選ぶ通り数なので、\displaystyle \frac{4\times 3}{2\times 1 }=6の6通りです。
二回一気に↑を埋め込む場合、4つから1つ選ぶ通り数なので、\displaystyle \frac{4}{1}=4の4通りです。
足して10通りです。
この場合少し手数が増えてしまっていますがうまいやり方だと思います。
他のケースでこういった考えは活かせます。

終わりに

場合の数は時には泥臭くカウントすることも重要ですが、数式で表せれば直ぐに答えにたどり着けます。
問題からどのような組み合わせになるか試行するという事は間違いを予防できます
数式をいきなり書く前に、試行するという事を挟んでください。

場合の数は確率の前提になっています。
場合の数が計上できなければ確率を求める事は難しいでしょう。
しかし、場合の数さえ計上できれば、確率はあまり怖くありません。
基礎となる部分がやはり大切です。

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