ｎ進数の問題の解法

10進数をn進数に、n進数を10進数に直すような問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)次の10進数を2進数,3進数,5進数で表しなさい。
3,19
(2)次の2進数,3進数,5進数を10進数で表しなさい。
$1011_{(2)}$
$21021_{(3)}$
$3140_{(5)}$

解き方

10進数” $a_2a_1a_0$ “（100の位が $a_2$ ,10の位が $a_1$ ,1の位が $a_0$ ）とは、
$a_2a_1a_0=a_2\times 10^2 + a_1\times 10^1 + a_0\times 10^0$
という意味です。
n進数” $a_2a_1a_{0(n)}$ “とは、
$a_2a_1a_{0(n)}=a_2\times n^2 + a_1\times n^1 + a_0\times n^0$
という意味です。
各桁を表す $n^m$ がその係数である $a_m$ 個だけあるという見方ができます。

10進数をn進数で表すときは、nで割り算した商と余りを計算していく方法があります。
nで割ると、展開した式が1つ右にずれますよね。
この性質を使っています。
n進数を10進数で表すときは、定義に従って求めていく事で良いでしょう。

解説

(1)3,19を2進数,3進数,5進数で表しなさい。
19をそれぞれ表してみます。

割り算と余りを使った方法で表してみましょう。
(i-i)19の2進数
$19 \div 2 =9$ 余り1
商の9を使って、
$9 \div 2 =4$ 余り1
商の4を使って、
$4 \div 2 =2$ 余り0
商の2を使って、
$2 \div 2 =1$ 余り0
商が底の2未満になったのでここまでで割り算の計算は終わりです。
この最後の商と、それまでの余りを終わりの方から並べます。
$10011_{(2)}$
ですね。
これが19の2進数表記になっています。
確かめておきましょう。
$10011_{(2)}=1\times 2^4 + 0\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1 \times 2^0$
$=16+2+1=19$

また、
$19-2^4=3$
$3-2^1=1$
$1-2^0=0$
の計算から、
$19=1\times 2^4 + 0\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1 \times 2^0$
$=10011_{(2)}$
と求める事もできます。

(i-ii)19の3進数
同じく割り算と余りを使って求めていきましょう。
$19 \div 3 =6$ 余り1
商の6を使って、
$6 \div 3 =2$ 余り0
商が底の3未満になったのでここまでで割り算の計算は終わりです。
この最後の商と、それまでの余りを終わりの方から並べます。
$201_{(3)}$
ですね。
これが19の3進数表記になっています。
確かめておきましょう。
$201_{(3)}=2\times 3^2 + 0\times 3^1 + 1 \times 3^0$
$=18+1=19$

(i-iii)19の5進数
同じく割り算と余りを使って求めていきましょう。
$19 \div 5 =3$ 余り4
商が底の5未満になったのでここで割り算の計算は終わりです。
この商と余りを終わりの方から並べます。
$34_{(5)}$
ですね。
これが19の5進数表記になっています。
確かめておきましょう。
$34_{(5)}=3\times 5^1 + 4 \times 5^0$
$=15+4=19$

(ii-i)3の2進数
割り算と余りを使って求めていきましょう。
$3 \div 2 =1$ 余り1
商が底の2未満になったのでここで割り算の計算は終わりです。
この商と余りを終わりの方から並べます。
$11_{(2)}$
ですね。
これが3の2進数表記になっています。

(ii-ii)3の3進数
割り算と余りを使って求めていきましょう。
$3 \div 3 =1$ 余り0
商が底の3未満になったのでここで割り算の計算は終わりです。
この商と余りを終わりの方から並べます。
$10_{(3)}$
ですね。
これが3の3進数表記になっています。

(ii-iii)3の5進数
3は5未満ですから、とくに計算することなく、 $3_{(5)}$ です。

(2)次の2進数,3進数,5進数を10進数で表しなさい。
定義に従ってばらしていきましょう。
(i) $1011_{(2)}$
$1011_{(2)}=1\times 2^3+0\times 2^2 +1\times 2^1 +1\times 2^0$
$=8+2+1=11$

(ii) $21021_{(3)}$
$21021_{(3)}=2\times 3^4+1\times 3^3+0\times 3^2 +2\times 3^1 +1\times 3^0$
$=2\times 81+1\times 27+2\times 3 +1$
$=162+27+6+1$
$=196$

(iii) $3140_{(5)}$
$3140_{(5)}=3\times 5^3+1\times 5^2 +4\times 5^1 +0\times 5^0$
$=3\times 125+1\times 25 +4\times 5$
$=375+25 +20$
$=420$

応用問題

(1)0.5625を2進数で表しなさい。
(2) $0.00111_{(2)}$ を10進数で表しなさい。
※(2)の問題に誤りがありました。ご指摘ありがとうございます。

解き方

小数も考え方は同じです。
$0.a_1a_2a_{3(n)}=a_1\times n^{-1}+a_2\times n^{-2}+a_3\times n^{-3}$
になります。

10進法からn進法に変換する方法はn倍した整数部分を使って求める方法があります。
n倍すると左にずれる性質を使います。
n進法から10進法に変換する方法は、定義に従って計算すればよいでしょう。

解説

(1)0.5625を2進数で表しなさい。

2倍した整数部分を使って求めていきます。
0.5625*2=1.125
整数部分が1になりましたので、1を引いて0.125を2倍します。
0.125*2=0.25
整数部分は0ですので、そのまま2倍します。
0.25*2=0.5
整数部分は0ですので、そのまま2倍します。
0.5*2=1
1になりましたのでここで終わりです。
上から整数部分を書いていきます。
$0.1001_{(2)}$ ですね。
これが0.5625の2進数表記になります。

(2) $0.00111_{(2)}$ を10進数で表しなさい。
定義に基づいて計算していきます。
$0.00111_{(2)}=0\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}+1\times 2^{-5}$
$=1\times 0.125+1\times 0.0625+1\times 0.03125$
$=0.125+0.0625+0.03125$
$=0.21875$