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平均値の問題の解法

平均値を求める問題です。

基本問題

次の表を完成させ、時間の平均値を求めなさい。

階級(秒) 階級値(秒) 度数(人) 階級値×度数
0以上10未満 6
10以上20未満 4
20以上30未満 2
30以上40未満 2
40以上50未満 6

解き方

まず度数分布表の各階級の「真ん中」の値を階級値と言いました。
平均値はこの階級値をもとにした平均値を求めます。
元々はその階級の中の何かの値だったわけですが階級値を使うというところがポイントです。

解説

次の表を完成させ、時間の平均値を求めなさい。

階級(秒) 階級値(秒) 度数(人) 階級値×度数
0以上10未満 6
10以上20未満 4
20以上30未満 2
30以上40未満 2
40以上50未満 6

階級値は階級の真ん中の値です。
どんどん埋めていきましょう。

階級(秒) 階級値(秒) 度数(人) 階級値×度数
0以上10未満 5 6 30
10以上20未満 15 4 60
20以上30未満 25 2 50
30以上40未満 35 2 70
40以上50未満 45 6 270
20 480

後は平均値を求めるだけですね。
\displaystyle \frac{480}{20}=24
ということで平均は24秒になります。

応用問題

次の表を完成させ、距離の平均値を求めなさい。

階級(m) 階級値(m) 度数(人) 階級値×度数
200以上220未満 8
220以上240未満 9
240以上260未満 6
260以上280未満 12
280以上300未満 5

解き方

基本問題と同じように求める事もできます。
しかし、「仮の平均値」という概念を使って求めると、計算が少し楽になります。

210,220,230の平均値は\displaystyle \frac{210+220+230}{3}=\frac{660}{3}=220ですね。
210も220も230も200以上なので200+10,200+20,200+30と思って計算すると、
\displaystyle \frac{200+10+200+20+200+30}{3}
\displaystyle =\frac{200+200+200+10+20+30}{3}=\frac{600+60}{3}=\frac{600+60}{3}=200+20=220
ですね。
もちろん一緒です。
しかし、200+200+200は計算するまでもなく、平均200ですね。
これに200からの差分の平均値の20を足しています。
ある一定の値からの差分の平均値を、その一定の値に足し直すことで平均値を求める事ができるという考え方です。

解説

次の表を完成させ、距離の平均値を求めなさい。

階級(m) 階級値(m) 度数(人) 階級値×度数
200以上220未満 8
220以上240未満 9
240以上260未満 6
260以上280未満 12
280以上300未満 5

仮平均として200を使ってみます。
なお、200~300なので、250とかでもいいかもしれません。
※1つ階級値-250が0になって計算が楽になるかもしれません。

階級(m) 階級値(m) 階級値(m)
-200(m)
度数(人) 階級値×度数 (階級値-200)
×度数
200以上220未満 210 10 8 1680 80
220以上240未満 230 30 9 2070 270
240以上260未満 250 50 6 1500 300
260以上280未満 270 70 12 3240 840
280以上300未満 290 90 5 1450 450
40 9940 1940

問題の解答としては仮平均の部分は不要です。
210等仮平均を使わない方法は埋める過程で大変だったんでは無いでしょうか。

このまま平均値も出しましょう。
\displaystyle \frac{9940}{40}=248.5
仮平均の場合
\displaystyle \frac{1940}{40}+200=48.5+200=248.5
という事で248.5mになります。

終わりに

計算が少し大変かもしれませんが丁寧に計算すれば得点しやすいので丁寧に計算を進めましょう。

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