必要条件と十分条件の問題の解法

必要条件か、十分条件か、あるいは必要十分条件かを答える問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の条件pは条件qの十分条件か、必要条件か、十分条件か答えなさい。
(1)条件p：x=1、条件q：x>0
(2)条件p：x>0、条件q： $x^2+x >0$
(3)条件p：xが素数、条件q：x=2
(4)条件p：x≠0,y≠0が異符号、条件q：x≠0,y≠0の積が負

解き方

必要条件、十分条件は2つポイントがあります。
1つめは条件p単体で語れないという事です。

「条件pは十分条件です！」
という文章はちょっとおかしいんです。

命題の「p⇒q」が真であるとき、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件と言いました。
なのである条件pが十分条件というのは、条件qが居てくれないと語れないのです。
条件qに対しては十分条件であっても、条件rに対しては十分条件でなかったりするわけです。
十分条件も、必要条件も、向きのあるセットもので捉えましょう。

十分条件や必要条件を答える問題では、問題に記載されている「p⇒q」だけでなく、「q⇒p」の真偽も確かめておきましょう。
そうすることで、pはqの必要条件なのか、十分条件なのか、必要十分条件なのかがわかるようになります。

2つめは必要条件、十分条件、どっちがどっちか間違えないように「覚える」ことです。

一覧化してみました。

p⇒q	q⇒p	pはqであるための	qはpであるための
真	真	必要十分条件	必要十分条件
真	偽	十分条件	必要条件
偽	真	必要条件	十分条件
偽	偽	必要条件でも十分条件でもない	必要条件でも十分条件でもない

解説

(1)条件p：x=1、条件q：x>0
p⇒qから見ていきましょうか。
仮定がx=1のとき、結論x>0になるか。
なりますね。
仮定を満たしているものはx=1だけですが、結論を満たしています。
真です。
条件pは条件qの十分条件になっています。

q⇒pはどうでしょうか。
仮定がx>0のとき、結論x=1になるか。
なりませんね。
x=1は仮定を満たしていて結論を満たしています。
しかしx=2は結論を満たしていません。
x=2は反例です。
条件pは条件qの必要条件になりません。

従って、条件pは条件qの十分条件になります。

(2)条件p：x>0、条件q： $x^2+x >0$
p⇒qから見ていきましょう。
仮定がx>0のとき、結論 $x^2+x >0$ になるか。
仮定がx>0ですからそこに $x^2 >0$ を足せば、 $x^2+x >0$ となり結論を満たしています。
真です。
条件pは条件qの十分条件になっています。

q⇒pを見ていきます。
仮定が $x^2+x >0$ のとき、結論x>0になるか。

$x^2$ はx=1のときxと同じ値になります。
x=2のときは4、x=3のときは9とxの上昇よりもはるかに早く大きくなっていきます。
さらにx=-2のときに|x|=2に対して $x^2=4$ 、x=-3のときに|x|=3に対して $x^2=9$ です。
やはり|x|の上昇と比較して $x^2$ の方が早く大きくなります。
$x^2+x$ は $x^2$ が支配力が強い。
|x|>1のときは $x^2$ から|x|を引いても $x^2$ が勝って正なんですね。
そんな感覚も大切です。

さて、x=-100を代入してみましょう。
$x^2+x=10000-100=9900>0$ です。
$x>0$ では無いですね。
仮定を満たす何かが、結論を満たしていません。
よって偽です。
反例はx=-100です。
条件pは条件qの必要条件になりません。

従って、条件pは条件qの十分条件になります。

(3)条件p：xが素数、条件q：x=2
p⇒qから見ていきましょう。
仮定がxが素数のとき、結論x=2になるか。
素数で例えばx=2017。
もちろんx=2ではありません。
仮定を満たしているx=2017が、結論のx=2を満たしていません。
偽です。
反例はx=2017です。
条件pは条件qの十分条件になりません。

q⇒pを見ていきます。
仮定がx=2のとき、結論xは素数になるか。
仮定を満たすものはx=2しかありませんが、それが結論を満たしています。
全ての仮定が結論を満たしているので真です。
条件pは条件qの必要条件になります。

従って、条件pは条件qの必要条件になります。

(4)条件p：x≠0,y≠0が異符号、条件q：x≠0,y≠0の積が負
p⇒qから見ていきましょう。
仮定がxとyが異符号のとき、結論xyが負になるか。
x>0,y<0であればxy<0であり、x<0,y>0であればxy<0です。
仮定を満たしているペアは結論を満たしています。
真です。
条件pは条件qの十分条件になります。

q⇒pを見ていきます。
仮定がxyが負のとき結論xとyが異符号になるか。
xy<0でx>0であればy<0であり、x<0であればy>0です。
仮定を満たしているペアは結論を満たしています。
真です。
条件pは条件qの必要条件になります。

従って、条件pは条件qの必要十分条件になります。

終わりに

おさらいしますと、必要条件、十分条件は2つポイントがあります。
1つめは条件p単体で語れないという事です。
対象となる条件qがあるのでセットで考えましょう。
2つめは必要条件、十分条件、どっちがどっちです。
覚えるしかない。
東西南北を間違えないようにする事と似ているかもしれません。
言葉の意味で解釈し直して間違えると致命的です。
余り言葉の意味で解釈しない方が良いと思います。

間違えない覚え方なら何でもいいと思います。
「p⇒qならpが十分でqが必要、十分⇒必要、十⇒要、重⇒要、重要だ！」
「p⇒qならpが十分でqが必要、from 十分 to 必要、ふろむ十分、風呂は十分だ！」
何でもいいです。