三角方程式の問題の解法

三角比に与えられた条件から、角 $\theta$ を求めるタイプの問題です。
ちなみに図をご用意できていませんが、必ず図を描きながらイメージしてください。

見出し

1 基本問題
2 応用問題（混じった三角比）
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 応用問題（角がずれている）
- 3.1 解き方
  - 3.1.1 解説
4 終わりに

基本問題

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めなさい。
$(1)\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(2)\displaystyle 2\cos{\theta}=-\sqrt{2}$

よくある解き方

(1)の $\sin$ の場合は $x$ 軸に平行な直線
$\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}$
を引き、(2)の $\cos$ の場合は $y$ 軸に平行な直線
$\displaystyle x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
を引いて、単位円の交点(複数ある可能性に注意)の $x$ 軸からの角を求めるやり方がありますね。

解説

まず(1)の問題の意味を確認すると、
「 $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は何か？」
という意味ですね。
「 $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 」となる $\theta$ を求めます。

さて、 $\sin{\theta}$ ってそもそも何だったか思い出しましょう。
$AB=x,BC=y,CA=r,\angle{ABC}=90^{\circ}$ の直角三角形のとき、 $\theta=\angle{BAC}$ とすると、
$\displaystyle \sin{\theta}=\frac{y}{r}$
でした。

解き方にある $\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ と単位円の交点 $P(p_x,p_y)$ を考えてみます。
まず $\displaystyle p_y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ は明らかですので、 $p_x$ の求め方を考えます。
$P$ から $x$ 軸におろした交点を $Q(p_x,0)$ とし、 $\theta=\angle{POQ}$ ( $O(0,0)$ は原点)としましょう。
直角三角形ですから斜辺の長さは、 $p_x^2+p_y^2$ ですね。
そして単位円は半径1ですから、 $p_x^2+p_y^2=1$ となり、 $p_y$ はわかっていますから、 $p_x$ を求める事ができます。
$\displaystyle p_x=\pm\frac{1}{2}$ となりますが、 $\pm$ を忘れないでください。

$P(p_x,p_y)$ となるような直角三角形の角 $\displaystyle \theta$ を求めましょう。
このとき、問題で与えられている $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ を考慮します。
数学Ⅰの段階では、角 $\theta$ の候補は、 $0^{\circ},30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ},120^{\circ},135^{\circ},150^{\circ},180^{\circ}$ のいずれかです。
数学Ⅱになっても、せいぜい $n\pi(180^{\circ})$ ( $n$ は整数)ずれる程度ですね。
そのため、 $1:1:\sqrt{2},1:2:\sqrt{3}$ に該当する三角形か、三角形がつぶれてしまっているはずです。
今回は、 $\displaystyle x:y:r=\pm\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1=1:\sqrt{3}:2$ で、 $60^{\circ},120^{\circ}$ ですね。

交点の座標まで求める必要はない

交点まで求める解説をさせていただきましたが、特に交点まで求めなくても $\displaystyle \theta$ を求める事はできます。
ポイントは $1:1:\sqrt{2},1:2:\sqrt{3}$ に該当する三角形か、つぶれた三角形になるかという点です。
$0^{\circ},30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}$ のどの三角形と一致するかに着目しましょう。

解説

$\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
でしたが、斜辺が $2$ で高さが $\sqrt{3}$ の直角三角形をイメージします。
$0^{\circ}$ から徐々に $90^{\circ}$ に近づけていき、 $r:y=2:\sqrt{3}$ を探します。
$\sqrt{3}$ が $1.732...$ ということで、縦長になりそうですね。
そうやって $r:y:x=2:\sqrt{3}:1$ の $60^{\circ}$ の三角形であると気づければ答えです。

この考え方は特に単位円を使いませんので、 $r$ を必ずしも $1$ にしなくても良いです。
気を付けなければならないのは、 $60^{\circ}$ だけでなく、 $120^{\circ}$ も解になっている点です。

三角関数のグラフが役に立つ

数学Ⅰではまだここまでやりません。
数学Ⅱで三角関数のグラフの単元で $y=\sin{x}$ のグラフを習います。
条件の $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ が $-360^{\circ} \leqq \theta \leqq 360^{\circ}$ のように広くなった場合はグラフも思い出すと良いです。

解説

(1)の $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ は見方を変えると、
$\displaystyle y=\sin{\theta}$ と $\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ のグラフの交点ですね。
という事でグラフを描いて交点を探します。

条件が $-360^{\circ} \leqq \theta \leqq 360^{\circ}$ のように広くなった場合は、解が漏れがちです。
しかしグラフを描いて条件の範囲で切ってあげると、交点を探す際に漏れや過剰になりにくいです。

ただし、解自体は上記のような従来の求め方で求める必要があります。

応用問題（混じった三角比）

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めなさい。
$\displaystyle 2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta}=3$

解き方

$\cos{\theta},\sin{\theta}$ が混じっていると難しいんですね。
いずれかに消えていただきます。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。

解説

2つの消し方があります。
1つは数学Ⅰの三角関係の相互関係を使います。
$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$ ですね。
今回の問題ではこちらを使い、
$\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}$ で置換します。

もう1つは数学Ⅱの加法定理等を用います。
$\sin(\alpha+\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$ から得られる公式があります。
また、 $a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sin{\theta+\alpha}$ の三角関数の合成の公式ですね。
これらを使う事で $\cos{\theta},\sin{\theta}$ のいずれかに消えていただきます。

さて、問題に戻りまして $\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}$ で置換します。
$2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta}=3$
$2(1-\sin^2{\theta}) +3\sin{\theta}=3$
$2-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}=3$
$-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}-1=0$

基本問題は $\cos{\theta},\sin{\theta}$ が1次の三角方程式でした。
今回は2次になっているので、二次方程式の解き方を思い出しましょう。
因数分解や解の公式を用いる事で、1次方程式の問題に帰着するか、そのまま解を求めることができましたね。

というわけで因数分解してみましょう。
$-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}-1=0$
$2\sin^2{\theta} -3\sin{\theta}+1=0$
$(2\sin{\theta}-1)(\sin{\theta}-1)=0$
つまり、 $2\sin{\theta}-1=0,\sin{\theta}-1=0$ のいずれかであればよいわけです。
$\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{2},\sin{\theta}=1$ を解きます。
基本問題の三角方程式の形になりましたね。
応用問題は基本問題の寄せ集めです。

応用問題（角がずれている）

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めなさい。
$\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}=\frac{1}{2}$
※数学Ⅱで角を一般角として拡張する必要があり、数学Ⅰでは出てこないと思います。
※本当は $\pi$ を使いたいんです。

解き方

$\theta$ がずれているとこれもややこしくなります。
やはり邪魔なずれに消えていただきましょう。
この場合は $\theta' = \theta + 45^{\circ}$ 等として置換して考える方法が良いと思います。

解説

$\theta'=\theta+45^{\circ}$ として置換します。
条件となる $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ もずれることに注意しましょう。
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$0^{\circ}+45^{\circ} \leqq \theta +45^{\circ} \leqq 180^{\circ}+45^{\circ}$
$45^{\circ} \leqq \theta' \leqq 225^{\circ}$

三角方程式の方も置換して解を求めます。
$\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin{\theta'}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \theta'=30^{\circ} \pm 360^{\circ}\times n,150^{\circ} \pm 360^{\circ}\times n$ ( $n$ は整数)

条件となる範囲に当てはまる解は、 $\displaystyle \theta'=150^{\circ}$ となり、1つだけです。
置換を元に戻して答えましょう。
$\displaystyle \theta+45^{\circ}=150^{\circ}$
$\displaystyle \theta=105^{\circ}$