円周角の定理の問題の解法

円周角の定理を使って角度を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに
- 3.1 補足メモ

基本問題

(1) $\angle{ABC}$ を求めなさい。

$\angle{AOC}=160^{\circ}$

(2) $\angle{ACB}$ を求めなさい。

$\angle{ADB}=40^{\circ}$

(3) $\angle{ACB}$ を求めなさい。

$\angle{CBO}=60^{\circ},\angle{OAC}=25^{\circ}$

解き方

円周角の定理を使います。

円周上の2点と一方の弧の点が作る円周角はどれも等しい
円周上の2点が作る中心角は2点の中心角側に作る円周角の2倍になる

これは「同じ弧」が作る円周角であれば2点が別の点でも定理は成り立ちます。

弧BAと点Cを反時計回りに90度回転させた弧が個B’A’と点C’です。
回転させただけですから $\angle{BCA}=\angle{B'C'A'}$ ですね。
$B'A'$ の作る円周角は等しくなるので、 $\triangle{B'C'A'}=\triangle{B'DA'}$ になります。
$\triangle{BCA}=\triangle{B'DA'}$ になります。

解説

(1) $\angle{ABC}$ を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ACが作る中心角 $\angle{AOC}$ はACが作る円周角 $\angle{ABC}$ の2倍になります。
$\angle{AOC}=2\angle{ABC}$
$\angle{AOC}=160^{\circ}$ を代入します。
$160^{\circ}=2\angle{ABC}$
$\angle{ABC}=80^{\circ}$

(2) $\angle{ACB}$ を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ABが作る円周角 $\angle{ACB}$ はABが作る円周角 $\angle{ADB}$ と等しくなります。
$\angle{ACB}=\angle{ADB}$
$\angle{ADB}=40^{\circ}$ なので、
$\angle{ACB}=40^{\circ}$

(3) $\angle{ACB}$ を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ABが作る中心角 $\angle{AOB}$ はABが作る円周角 $\angle{ACB}$ の2倍になります。
$\angle{AOD}=\angle{AOB}=2\angle{ACB}=2\angle{DCB}$

対頂角は等しい性質より $\angle{ODA}=\angle{BDC}$ になります。

$\triangle{DCB},\triangle{ODA}$ の内角の和は $180^{\circ}$ なので、
$\angle{DCB}+\angle{CBD}+\angle{BDC}=180^{\circ}$
$\angle{ODA}+\angle{DAO}+\angle{AOD}=180^{\circ}$
二つの式に $\angle{CBO}=60^{\circ},\angle{OAC}=25^{\circ},\angle{AOD}=2\angle{DCB}$ を代入します。
$\angle{DCB}+60^{\circ}+\angle{BDC}=180^{\circ}$ ･･･①
$\angle{BDC}+25^{\circ}+2\angle{DCB}=180^{\circ}$ ･･･②

この連立方程式を解けば求める事ができそうですね。
②-①で $\angle{BDC}$ に消えていただきます。
$(\angle{BDC}+25^{\circ}+2\angle{DCB})-(\angle{DCB}+60^{\circ}+\angle{BDC})=0^{\circ}$ $-35^{\circ}+\angle{DCB}=0^{\circ}$
$\angle{DCB}=35^{\circ}$
よって、 $\angle{ACB}=35^{\circ}$ になります。

応用問題

円上の点ABCがAB=ACを満たしている。
BC上の点Dをとり、直線ADと円の交点をEとする。
$AB=5,AD=2\sqrt{5}$ のとき、AEの長さを求めなさい。

解き方

円周角の定理を使って相似である三角形を見つけていきます。
入試問題へのステップになる問題です。

解説

$AB=5,AD=2\sqrt{5}$ のとき、AEの長さを求めなさい。

まず条件である、AB=ACから $\triangle{ABC}$ はAB=AC=5の二等辺三角形になります。
よって、 $\angle{ABC}=\angle{ACB}=\angle{ACD}$ です。

円周角の定理を使うと、弧ACが作る円周角 $\angle{ABC}=\angle{AEC}$ になります。
従って $\angle{ABC}=\angle{ACD}=\angle{AEC}$
$\triangle{EAC}$ と $\triangle{CAD}$ は共通する角で等しいですね。
2つの角がそれぞれ等しいので $\triangle{AEC}$ と $\triangle{ACD}$ が相似になります。

$\triangle{AEC}$ の $AC$ に対応する $\triangle{ACD}$ の辺は $AD$ です。
つまりこの2つの三角形の相似比は $AC:AD$ になります。
問題より $5:2\sqrt{5}$ です。

$\triangle{AEC}$ の $AE$ に対応する $\triangle{ACD}$ の辺は $AC$ です。
これが $5:2\sqrt{5}$ になるわけですから、
$AE:AC=AE:5=5:2\sqrt{5}$
$2\sqrt{5}AE=25$
$\displaystyle AE=\frac{25}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$