数字を並べて数を作る問題の解法

数字を並べて数を作る場合の数を求める問題です。

基本問題

0,1,2,3,4,5,6,7の数が掛かれた8枚のカードがあります。
(1)カードを5枚を使って5桁の整数を作ったときの数は何通りあるか
(2)カードを4枚を使って4桁の奇数を作ったときの数は何通りあるか
(3)カードを3枚を使って3桁の3の倍数を作ったときの数は何通りあるか
ただし、カードは1枚ずつしかなく、同じカードを使うことはできないものとする。

解き方

場合の数はどれもそうですが、条件を確認し、どのような並びとることができそうか考えます。
その結果が何通りあるのか計上していきます。
計上するうえで複雑になる場合などは場合分けをすると良いかもしれません。

今回は数の桁数が決められていますので、0から始まってはいけないですね。
奇数の場合は下一桁が奇数にならなければなりませんね。
3の倍数のときは3の倍数の条件を使いましょう。

解説

(1)カードを5枚を使って5桁の整数を作ったときの数は何通りあるか
まず単純に5桁の整数を作る問題です。
1の位、10の位、100の位、1000の位、10000の位をそれぞれのカードを使って表します。

10000の位は5桁になるために、1~7のカードを使う必要がありますね。
7通りです。

1000の位は10000の位で使ったカートは使えません。
10000の位で1を選べば0,2~7のカードを使い7通りあります。
10000の位で2を選べば0,1,3~7のカードを使い7通りあります。
10000の位で選んだカードに関係なく、7通りずつあります。

100の位はどうでしょうか。
10000の位、1000の位で使ったカードは選べません。
10000の位で1、1000の位で0を選んでいた場合、100の位では2~7の6通りあります。
10000の位で1、1000の位で2を選んでいた場合、100の位では0,3~7の6通りあります。
やはり10000の位、1000の位で選んだカードに関係なく、6通りずつあります。

10の位も同じですね。
10000の位、1000の位、100の位で選んだカードに関係なく、5通りずつあります。

1の位も同様、10000の位、1000の位、100の位、10の位で選んだカードに関係なく、4通りずつあります。

7\times 7\times 6\times 5\times 4=5880
5880通りになります。

(2)カードを4枚を使って4桁の奇数を作ったときの数は何通りあるか
桁数以外に条件「奇数」が付きました。

奇数という事は1の位が1,3,5,7のいずれかになります。
4通りです。

1の位で1を選んだ場合、10000の位は0,1が使えません。
2~7の6通りです。
1の位で3,5,7を選んだ場合もやはり、10000の位は0と1の位のカードが使えません。
それぞれ6通りです。

1000の位も同じですね。
それぞれに対し、5通りあります。

100の位が4通り、10の位が3通りになります。

4\times 6\times 5\times 4\times 3=1440
1440通りになります。

(3)カードを3枚を使って3桁の3の倍数を作ったときの数は何通りあるか
桁数以外に条件「3の倍数」が付きました。

「3の倍数」であるためには「各桁の和が3の倍数」でしたね。
0~7の数から和が3の倍数となる組を選び、三桁の数字を作っていきましょう。

0を含む場合0から始めてはいけません。
(0,1,2),(0,1,5),(0,2,4),(0,2,7),(0,3,6),(0,4,5),(0,5,7)7通りあります。
この場合、0以外の2つのいずれかを選び、0と残った1つを選んで数が決まりますね。
2\times 2=4通りです。
7通りの組に対しそれぞれ4通りずつありますから、7\times 4=28通りになります。

0を含まない場合は3つの数の組の全ての数を並び替えるのでそれぞれの組に対し6通りですね。
3つの数の組は
(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,7),(1,5,6)
(2,3,4),(2,3,7),(2,4,6),(2,6,7)
(3,4,5),(3,5,7),(4,5,6),(5,6,7)
の13組です。
13\times 6=78通りです。

あわせて28+78=106通りになります。

終わりに

地道かもしれませんが、それぞれの考えに沿ってわかるところから求めていけば計上することができると思います。
ただ、奇数のときに1の位から見ていかないと後になって困ってしまいます。
「条件として厳しい」ものから見ていくと良いですね。
「こうやるしかない」というものではないので自分なりの考えで書き始めてみましょう。

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