※記事の改善を目的に簡単なアンケートを記事の最下段に設置しています※
※わかりやすい、わかりにくい、両方の貴重なご意見を頂き、日々改善しております。※
※ご協力よろしくお願いいたします&ありがとうございます!※

2点間の距離の問題の解法

三平方の定理を使い2点間の距離を求める問題です。

基本問題

(1)2点A,B間の距離を求めなさい。
2点間の距離_1
A(1,1),B(3,4)

解き方

2点がx軸に平行な直線上にある場合はx座標の差になりますね。
y軸に平行な直線上にある場合はy座標の差です。
そうでない場合、2点間の距離を求めるときは三平方の定理の出番です。
直角三角形が無ければ作ればいい、作るときには線分の長さが求められるかどうか
x軸に平行な線、y軸に平行な線を2点を通るよう、2本ずつ引きましょう。
ABを斜辺とする直角三角形ができますね。

一応公式があります。
A=(x_a,y_a),B=(x_b,y_b)のときAB=\sqrt{(x_b-x_a)^2-(y_b-y_a)^2}
ただの三平方の定理です。

解説

(1)2点A,B間の距離を求めなさい。
2点間の距離_1

解き方のとおり直角三角形を作りましょう。
2点間の距離_2

まず線分の長さを求めておきましょう。
AC=|3-1|=2,BC=|1-4|=3
ですね。
三平方の定理より
AB^2=AC^2+BC^2
AB^2=2^2+3^2=4+9=13
AB=\pm \sqrt{13}
AB>0なのでAB=\sqrt{13}です。

応用問題

(1)\triangle{ABC}の面積をACとBHの長さを使って求めなさい。
2点間の距離_6
A(1,1),B(3,4),C(4,0)

解き方

座標から線分の長さを求めることができます。
線分の長さがわかると面積を求めることができます。
どちらも三平方の定理のおかげです。

ちなみに方法を指定されたのでその方法で解いています。
この問題の場合はACとBHから求めるよりも他の方法を使った方が計算は楽ですね。

解説

(1)\triangle{ABC}の面積を求めなさい。
2点間の距離_6

まず線分の長さを求めておきましょう。

ABは基本問題の(1)を拝借してAB=\sqrt{13}ですね。

BCは、B,Cの座標を使って
BC^2=(4-3)^2+(0-4)^2
BC^2=1+16=17
BC=\pm \sqrt{17}
BC>0なのでBC=\sqrt{17}です。

CAは、C,Aの座標を使って
CA^2=(1-4)^2+(1-0)^2
CA^2=9+1=10
CA=\pm \sqrt{10}
CA>0なのでBC=\sqrt{10}です。

3辺の長さがわかっていて、高さを求めれば面積を求める事ができる状態になりました。
三平方の定理の問題の解法の基本問題(2)で使った方法が使えそうです。

x=AHとするとHC=AC-AH=\sqrt{10}-x
\triangle{ABH}で三平方の定理を使うと、
AB^2=AH^2+BH^2
13=x^2+BH^2・・・①
\triangle{BCH}で三平方の定理を使うと、
BC^2=BH^2+CH^2
17=BH^2+(\sqrt{10}-x)^2
17=BH^2+10-2\sqrt{10}x+x^2・・・②
②-①を計算すると
17-13=10-2\sqrt{10}x
-6=-2\sqrt{10}x
\displaystyle x=\frac{3}{\sqrt{10}}
\displaystyle x=\frac{3\sqrt{10}}{10}・・・③
③を①に代入すると、
\displaystyle 13=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2+BH^2
\displaystyle 13=\frac{90}{100}+BH^2
\displaystyle BH^2=13-\frac{90}{100}
\displaystyle BH^2=\frac{1300-90}{100}
\displaystyle BH^2=\frac{1210}{100}
1210=2\times 5 \times 11^2です。
BH>0なので、
\displaystyle BH=\sqrt{11\frac{10}{10}}

面積は
\displaystyle AC \times BH \div 2 =\sqrt{10} \times \frac{11\sqrt{10}}{10} \div 2=\frac{11\times 10}{10\times 2}
\displaystyle =\frac{11}{2}
になります。

面積の問題は、
「求める面積を含む図形から不要な部分を切り取る方法」
2点間の距離_4

「いくつかに分解して足す方法」
2点間の距離_5

が使えます。

「求める面積を含む図形から不要な部分を切り取る方法」
PQRCの面積は3\times 4=12
PCAの面積は\displaystyle 3\times 1\div 2=\frac{3}{2}
QABの面積は\displaystyle 2\times 3\div 2=3
RCBの面積は\displaystyle 4\times 1\div 2=2
よって、
\displaystyle 12-\left(\frac{3}{2}+3+2\right)
\displaystyle =12-\frac{13}{2}
\displaystyle =\frac{11}{2}

「いくつかに分解して足す方法」
ASBの面積は\displaystyle 2\times 3\div 2=3
CSAの面積は\displaystyle 2\times 1\div 2=1
BSCの面積は\displaystyle 3\times 1\div 2=\frac{3}{2}
よって、
\displaystyle 3+1+\frac{3}{2}
\displaystyle =\frac{11}{2}

別の方法で確かめておくと間違ったときに気が付けます
今回は他の求め方が比較的楽なので特に確認しておきたいですね。

終わりに

三平方の定理が使えると図形の問題を解ける幅が広がります。
どんどん使っていきましょう。

関連

アンケートのご協力をお願いいたします

最後までお読みいただきありがとうございました。 よろしければ記事改善のためのアンケートにご協力頂けましたら幸いです。 頂いた内容をもとに近日中に記事を改善させていただきます。

記事を作成するうえでの参考にご意見いただければ幸いです。

疑問は解消されましたか?
 された されなかった

このページの記事の内容はわかりやすかったですか?
 わかりやすい わかりにくい

よろしければわかりにくい場合の理由を教えてください。
 細かすぎる、当たり前なところまで書きすぎ 粗すぎる、行間の不足、論理の飛躍 前提となる知識の記載が無い 言葉の意味が分からない 答えに至る過程の何故そう考えたかの記載が無い 難しすぎてわからない 簡単すぎる 求めていた例題と異なる

ご要望やご意見等(任意)


内容に問題が無ければこちらにチェックをつけて送信ボタンをクリックしてください。

数学解法の目次ページ

数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 高校の範囲に限定した目次を作成しました。
高校数学の解法(目次)
数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 中学校の範囲に限定した目次を作成しました。
中学数学の解法(目次)
数学, 解法
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • Evernoteに保存Evernoteに保存